Книга 1. Звезды свидетельствуют

В описанном выше занесении координат звезды в каталог заложено предположение, что прибор наблюдателя порождает идеальную сферическую систему координат в трехмерном окружающем пространстве. Однако реальный прибор может быть слегка деформирован. Пренебрегая эффектами второго порядка, без ограничения общности можно считать, что деформация прибора вызывает некоторое линейное преобразование евклидовой системы координат в пространстве. Естественно считать это линейное преобразование близким к тождественному, так как слишком сильное искажение прибора будет замечено наблюдателем, претендующим, как мы видели, на точность 10′. Даже если деформация системы координат и содержит малые нелинейные возмущения, фактически мы рассматриваем первое приближение, то есть линейную аппроксимацию, описывающую искажение прибора.

Линейное преобразование трехмерного пространства, оставляющее на месте начало координат, задается матрицей

Это преобразование, действуя на исходную евклидову систему координат, искажает ее. Из элементарной теории квадратичных форм хорошо известно, что невырожденное линейное преобразование, близкое к тождественному, деформирует сферу в некоторый эллипсоид, рис. 7.33. Таким образом, хотя исходные взаимно ортогональные координатные прямые слегка смещаются, и вообще говоря, перестают быть ортогональными, всегда найдутся новые три взаимно ортогональные прямые, направленные по осям эллипсоида. Эти три новые прямые обозначены на рис. 7.33 буквами x', y', z'.

Рис. 7.33. Превращение сферы в эллипсоид при малой линейной деформации объемлющего пространства.

Таким образом, для наших целей можно считать, что линейное преобразование деформирует сферу следующим образом. Сначала происходит некоторый поворот (ортогональное преобразование), переводящий оси x, y, z в новые взаимно ортогональные оси x', y', z'. Затем происходит растяжение по трем взаимно ортогональным направлениям с некоторыми коэффициентами λ₁, λ₂, λ₃. Это последнее преобразование однозначно задается диагональной матрицей

Коэффициенты растяжения λ₁, λ₂, λ₃ — это некоторые вещественные числа. Они могут быть положительными или отрицательными, но из самого смысла задачи следует, что они отличны от нуля.

8.3. Искажение сферы в эллипсоид

Деформации координатной сетки, вызванные ортогональными поворотами, изучены выше, поэтому теперь можно сосредоточиться на втором преобразовании, а именно на преобразовании подобия, задаваемом диагональной матрицей R.

Итак, без ограничения общности можно считать, что деформация астрономического прибора, порождающая линейное преобразование трехмерной евклидовой координатной сетки в пространстве, задается преобразованием подобия Я с коэффициентами растяжения λ₁, λ₂, λ₃, рис. 7.34. Отметим, что числа λ_i могут быть большими единицы, равными единице или меньшими единицы независимо друг от друга. Поэтому, говоря о коэффициентах растяжения, мы в действительности имеем в виду не только фактическое растяжение (увеличение линейного размера вдоль оси), но и возможное сжатие, то есть уменьшение линейного размера. Если при некотором i выполнено неравенство λ_i > 1, то мы имеем растяжение. Если же λ_i < 1, то вдоль данной оси происходит сжатие.

Числа λ₁, λ₂, λ₃ можно рассматривать как величины полуосей эллипсоида. На рис. 7.34 эти полуоси изображаются отрезками Oλ₁, Oλ₂, Oλ₃.

Рис. 7.34. Преобразование подобия с независимыми коэффициентами растяжения или сжатия вдоль трех ортогональных осей.

8.4. Неточности измерений в «эллипсоидальной системе координат»

Обсудим подробнее измерение координат звезды в описанной выше искаженной системе координат, которую мы назовем эллипсоидальной. На рис. 7.35 плоскость рисунка проходит через центр О, звезду А и полюс эклиптики P. Эта плоскость рассекает эллипсоид, порождаемый прибором, по эллипсу, показанному на рис. 7.35 сплошной линией. Соответствующая окружность, которая порождалась бы идеальным прибором, показана пунктиром. Сейчас нас интересуют лишь широты, поэтому напомним, что широты обычно отсчитываются от эклиптики, то есть от точки M на рис. 7.35. Наблюдатель разделил дугу МР' на 90 равных частей и тем самым градуировал кольцо (эллипс), отметив на нем градусные деления. Так как на самом деле он градуировал не окружность, а эллипс, то равномерные градусные деления на эллипсе слегка искажают углы. Следовательно, возникающая градуировка углов неравномерна. Мы считаем здесь, что наблюдатель этого не заметил, иначе бы он исправил прибор.