Книга 1. Звезды свидетельствуют

Рис. 7.35. Искажение широт наблюдаемых звезд в результате малого искажения системы координат, вызванного неточностями в изготовлении астрономического измерительного прибора.

Наблюдая реальную звезду А, наблюдатель отметил ее положение А' на своем «эллипсоидальном приборе». Он получил, по его мнению, реальную широту звезды. Занося это число в свой каталог, который, естественно, предполагает в качестве системы координат идеальную сферическую систему, наблюдатель получил некоторую точку А''. Тем самым он сместил положение звезды, слегка поднял ее по отношению к истинному, если, например, λ₁ > λ₃, как показано на рис. 7.35.

Если эллипс таков, что точка Р' выше точки Р (то есть если λ₁ < λ₃), то направление смещения звезды будет другим. В этом случае точка А'' будет ниже точки А на окружности РМ. Возникающее преобразование окружности, а именно А → А'', конечно, нелинейно. Его можно продолжить до преобразования всей плоскости и всего трехмерного пространства. При этом начало координат остается на месте. Однако, поскольку мы считаем искажения прибора все-таки незначительными, то, как уже было сказано выше, можно ограничиться рассмотрением линейного приближения. То есть, заменить, — не делая при этом большой ошибки, — описанное нелинейное преобразование его главной линейной частью. Такой главной частью является растяжение по трем взаимно ортогональным осям с коэффициентами λ₁, λ₂, λ₃. Таким образом, мы снова возвращаемся к уже описанной выше математической постановке задачи. См. пункты 8.2 и 8.3. Точные значения искажений, вносимых указанным преобразованием в широты звезд, были нами рассчитаны на компьютере. Результаты расчетов приведены в табл. 7.4.

Таблица 7.4. Численно рассчитанные значения ошибок, вносимых в широты звезд искажением кольца астролябии. Здесь λ₃ /λ₁ = 1 + ε. Величины искажения углов показаны в минутах и их долях.

8.5. Оценка искажений углов, измеряемых «слегка эллипсоидальным прибором»

Итак, пусть задано линейное преобразование трехмерного пространства, определяемое тремя числами λ₁, λ₂ и λ₃ то есть матрицей

Нам необходимо оценить возникающее при этом искажение углов. Пусть ψ — истинная широта реальной звезды. Измерение на эллипсоидальном приборе превратит ее в некоторое другое число ψ'. Разность Δψ = ψ — ψ' дает величину возникшего искажения. С геометрической точки зрения искажение задается углом Δψ между направлением на реальную звезду и тем направлением на нее, которое вычисляется на искаженном приборе.

Оказывается, можно не рассматривать все трехмерное пространство, а ограничиться лишь плоским случаем. В самом деле, на рис. 7.36 видно, что под действием линейного преобразования Я звезда А перейдет в новое положение А''. При этом параллель звезды А перейдет в параллель звезды А''. Дело в том, что плоскость, ортогональная оси ОР и определявшая параллель звезды А, перейдет в плоскость, также ортогональную оси ОР. Так как нас интересуют лишь широты, то вместо точки А достаточно рассмотреть точку В, лежащую на меридиане звезды А'', рис. 7.36.

Рис. 7.36. В результате линейного преобразования системы координат, звезда «изменит свое положение». (Здесь λ₁ = 1).

Под действием преобразования R плоскость, проходящая через ось ОР и меридиан звезды А, поворачивается вокруг оси ОР. При этом в повернутой плоскости возникает линейное преобразование подобия. Следовательно, трехмерная задача сводится к двумерной. Поэтому в дальнейшем мы рассмотрим эллипс в двумерной плоскости, рис. 7.37. Отвлекаясь от предыдущих обозначений, введем на плоскости декартовы координаты (x,z) и рассмотрим линейное преобразование

определяемое растяжениями λ₁ и λ₃ вдоль осей x и z соответственно.

Рис. 7.37. Превращение окружности в эллипс при малом искажении системы координат.

Положение звезды А'' задается на единичной окружности радиус-вектором а = (x,z), а точка В — радиус-вектором b = (λ₁x, λ₃z). Наша цель — вычислить угол Δψ как функцию от широты ψ и коэффициентов растяжения (сжатия) λ₁ и λ₃.

8.6. Оценка возможных искажений и устойчивость полученной нами датировки

Из элементарных теорем аналитической геометрии следует, что cos Δψ равен скалярному произведению (a,b) векторов а и b, деленному на длину вектора b. При этом мы, естественно, считаем радиус окружности ОМ равным 1. Этого всегда можно добиться выбором соответствующего масштаба. Итак,