Книга 1. Звезды свидетельствуют

Рис. 6.9. Поведение систематических ошибок γ_stat(t), φ_stat(t) и β_stat(t) для области неба Zod В в Альмагесте.

Цифры, приведенные в табл. 6.2 и табл. 6.3, позволяют сделать следующие выводы. Наиболее точно измерены в Альмагесте звезды из области неба Zod А. Это видно из того, что компенсация обнаруженной систематической ошибки для этой группы звезд позволила снизить среднеквадратичную ошибку до 12,8′. При этом оказалось, что около 64 % звезд получили после компенсации широтную невязку менее 10′.

Следующей по точности группой звезд в Альмагесте является область A. Там среднеквадратичная широтная невязка снизилась после устранения систематической ошибки до 16,5′. При этом число звезд, имеющих широтную невязку меньше 10′, возросло в этой области более чем до 50 %.

Доверительные интервалы I_φ(ε) и I_γ(ε) для областей неба Zod А и А оказались близки по размерам. См. табл. 6.3. Хотя точность измерений в области неба Zod А выше, чем в области А. Это объясняется разным числом звезд в этих областях. Размер доверительного интервала тем больше, чем меньше звезд. И тем меньше, чем выше точность измерений.

Данные табл. 6.2 подтверждают претензии Птолемея на точность в 10′. По крайней мере — для широт звезд.

Следующими по точности измерений оказываются группы звезд Альмагеста в частях неба В и Zod В. Их точностные характеристики весьма близки. Остаточная среднеквадратичная ошибка равняется приблизительно 19′. Звезды с широтной невязкой меньше 10′ составляют около 44 % в этих группах. Положения полюса эклиптики, определяемые по этим частям неба в Альмагесте, хотя «на глаз» и близки к положениям полюса для А и Zod А, но попадают в соответствующие доверительные полосы лишь при достаточно малых значениях ε = 0,01. Это означает, что систематические ошибки в областях неба В и Zod В могут отличаться от ошибок в областях неба А и Zod А. Кроме того, в частях неба А и Zod А звезды измерены существенно точнее, чем в областях неба В и Zod В. Ниже мы приведем дополнительные аргументы, подтверждающие это обстоятельство.

Звезды в областях неба C, D, M измерены в Альмагесте хуже, чем в частях неба A и B. Более того, в этих областях значения оценок γ_stat и φ_stat попадают в доверительные интервалы для γ_stat и φ_stat по областям неба A, Zod A, В и Zod B лишь при достаточно малых ε. Это означает, что мы обязаны допустить в C, D, M наличие таких систематических ошибок Альмагеста, которые отличаются от систематической ошибки в областях A, Zod A, B и Zod В.

При анализе табл. 6.2 и табл. 6.3 уже возникал вопрос о том, какое изменение среднеквадратичной ошибки следует считать большим, а какое — малым. Для ответа на вопрос воспользуемся анализом чувствительности, проведенным в главе 5. Схема решения иллюстрируется на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Определение допустимых изменений среднеквадратичных широтных невязок.

На координатной плоскости (γ, φ) изобразим эллипсоидальные линии уровней функции σ²(γ,φ,t), см. формулу (5.3.9). На этой же плоскости изобразим прямоугольник R(ε), имеющий координатные проекции I_γ(ε) и I_φ(ε). На рис. 6.10 это — заштрихованный прямоугольник. Тогда вероятность того, что истинное значение систематической ошибки (γ, φ) лежит в этом прямоугольнике, не меньше, чем 1–2ε. Найдем σ²_max(ε) = max σ²(γ, φ, t), где максимум берется по всем парам (γ, φ) R(ε). Найденная величина σ_max(ε) определяет допустимую, — с уровнем доверия 1–2ε, — среднеквадратичную широтную невязку, а разность σ_max(ε) — σmin определяет допустимое увеличение среднеквадратичной невязки из-за неточности оценивания параметров γ и φ значениями γ_stat и φ_stat.

В табл. 6.4 для областей неба A и Zod A приведены величины а₁₁, а₁₂, а₂₂ на момент t = 18, определяющие линии уровня среднеквадратичных ошибок. Линии уровня определяются формулой (5.3.9), в которой γ надо измерять в дуговых минутах, а φ — в градусах. В таблице приведены также величины Δσ = σ_max(ε) — σ_min, рассчитанные для «крайних» значений ε = 0,1 и ε = 0,005. Отметим, что полученные величины, оказывается, мало меняются со временем. Эти цифры показывают уверенное разделение по точности областей неба A и Zod A, с одной стороны, и областей неба B и Zod B — с другой. В самом деле, даже при уровне доверия 1 — 2ε = 0,99 среднеквадратичная ошибка в доверительной области, построенной для области Zod A, не достигает минимального значения ошибки, полученного для областей неба B и Zod В.

Таблица 6.4. Значения величин а₁₁, а₁₂, а₂₂, рассчитанные для каталога Альмагеста в предположении, что он был составлен около 100 года н. э. (t = 18).