Курс теоретической астрофизики

(23.2)

Число ионизаций с i-го уровня при поглощении квантов с частотами от до +d в 1 см^3 за 1 с равно

n

_i

k

_i

1-exp

-

h

kT

c

h

d

,

где n_i — число атомов в i-м состоянии, k_i — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом (множитель в скобках учитывает отрицательное поглощение), — плотность излучения частоты . На основании принципа детального равновесия имеем

nn

_e

_i

(v)

f(v)

v

dv

=

n

_i

k

_i

1-exp

-

h

kT

c

h

d

.

(23.3)

Как известно, при термодинамическом равновесии функция f(v) определяется формулой Максвелла, плотность излучения — формулой Планка и распределение атомов по состояниям — формулами Больцмана и Саха. При помощи перечисленных формул из соотношения (23.3) получаем

_i

(v)

=

h^2^2

c^2m^2v^2

g_i

g

k

_i

,

(23.4)

где g_i — статистический вес i-го состояния данного атома, и g — статистический вес основного состояния иона.

Формула (23.4) и даёт искомую связь между величинами _i(v) и k_i. Хотя при выводе её предполагалось термодинамическое равновесие, но она верна, разумеется, всегда (так как вероятности поглощения и излучения квантов не зависят от распределения атомов по состояниям и квантов по частотам).

Подставляя (23.4) в (23.1), получаем следующее выражение для коэффициента рекомбинации:

C

_i

(T

_e

)

=

g_i

g

h^2

c^2m^2

0

^2

v

k

_i

f(v)

dv

.

(23.5)

Здесь функция f(v) даётся формулой Максвелла при температуре T_e, т.е.

f(v)

=

4m^3

(2mkT_e)^3^/^2

exp

-

mv^2

2kT_e

v^2

.

(23.6)

Чтобы вычислить величину C_i(T_e) по формуле (23.5), надо знать коэффициент поглощения для данного атома. Мы сейчас найдём C_i(T_e) для водорода. В этом случае коэффициент поглощения k_i Даётся формулой (5.6). Подставляя (5.6) в (23.5) и пользуясь также формулами (23.2) и (23.6), получаем

C

_i

(T

_e

)

=

2

(6)^3^/^2

e^1

m^2c^3h^3

m

kT_e

^3/

1

i^3

x

x

exp

_i

kT_e

E

_i

kT_e

,

(23.7)

где Ex — интегральная показательная функция.

Формулу (23.7) можно переписать в виде

C

_i

(T

_e

)

=

3,22·10

M

_i

(T

_e

)

,

(23.8)

где

M

_i

(T)

=

1

T^3^/^2 i^3

exp

_i

kT

E

_i

kT

.

(23.9)

Значения функции M_i(T)·10 приведены в табл. 27.

Аналогично могут быть найдены коэффициенты рекомбинации для других атомов.

Таблица 27

Значения функции M_i(T)·10

i

T, K

1 000

5 000

10 000

20 000

50 000

1

20,0

8,8

6,0

3,9

2,3

2

9,8

3,9

2,7

1,6

0,78

3

6,4

2,5

1,4

0,86

0,37

4

4,7

1,6

0,94

0,52

0,21

5

3,5

1,1

0,64

0,34

0,13

6

2,9

0,86

0,46

0,23

0,088

7

2,3

0,66

0,35

0,17

0,062

8

1,9

0,52

0,26

0,13

0,046

2. Степень ионизации в туманности.

При термодинамическом равновесии степень ионизации атомов определяется формулой Саха. В туманностях нет термодинамического равновесия, поэтому мы должны вывести новую ионизационную формулу. Для этого мы воспользуемся тем, что туманности стационарны, т.е. физические условия в них не меняются с течением времени (на самом деле изменение происходит, но очень медленно). Точнее говоря, будем считать, что в каждом объёме число ионизаций равно числу рекомбинаций.

Так как ионизация атомов в туманностях происходит преимущественно из основного состояния, то число ионизаций, совершающихся в 1 см^3 за 1 с под действием излучения в интервале частот от до +d равно

n

k

₁

c

h

d

.

Плотность излучения в туманности определяется формулой (22.2). Поэтому для полного числа ионизаций, происходящих в единице объёма за единицу времени, получаем

n

W

k

₁

c

h

d

,

где — частота ионизации из основного состояния.

Что же касается рекомбинаций, то они происходят на все уровни. Поэтому полное число рекомбинаций, случающихся в 1 см^3 за 1 с, будет равно

n

_e

n

1

C

_i

(T

_e

)

.

Приравнивая друг к другу два последних выражения, имеем

n

W

k

₁

c

h

d

=

n

_e

n

1

C

_i

(T

_e

)

.

(23.10)

Эта формула и даёт возможность определить степень ионизации атомов в туманности, если известны величины k₁ и C_i(T_e). Однако её можно сильно упростить, воспользовавшись соотношением (23.5). Предварительно перепишем формулу (23.10) в виде

p

n

W

k

₁

c

h

d

=

n

_e

n

C(T

_e

)

,

(23.11)

где через p обозначена доля захватов на первый уровень. Принимая во внимание соотношение (23.5), а также считая, что величина . даётся формулой Планка с температурой T_* а величина f(v) — формулой Максвелла с температурой T_e вместо (23.11) находим

p

n

W

k

₁

^2 d

=

exp

h

-1

kT

_*

=

g

g

n

_e

n

mh^3

2(2mkT_e)^3^/^2

x

x

0

k

₁

^2

exp

-

mv^2

2kT_e

v

dv

.

(23.12)

Чтобы вычислить интегралы, входящие в соотношение (23.12), надо знать зависимость k₁ от частоты. Для разных атомов эта зависимость различна, однако мы примем, что для всех атомов k₁~1/^2. Происходящая от этого ошибка сравнительно невелика, а вычисления существенно упрощаются. После выполнения интегрирования формула (23.12) принимает вид

n_en

n

=

g

g

pW

T_e

T_*

1/2

2(2mkT_*)^3^/^2

h^3

x

x

ln

1-

exp

-

h

kT_*

-1

.

(23.13)

В обычно встречающихся на практике случаях h/kT_*>>1. Поэтому вместо (23.13) имеем

n

_e

n

n

=

g

g

pW

T_e

T_*

1/2

2(2mkT_*)^3^/^2

h^3

exp

-

h

kT_*

.

(23.14)

Это окончательный вид формулы ионизации для туманностей.