Курс теоретической астрофизики

где ℎν>χ_𝑖 Эта формула верна всегда, когда скорости свободных электронов распределены по закону Максвелла с температурой 𝑇.

При помощи формулы (26.2) мы можем, между прочим, найти полное число рекомбинаций на 𝑖-й уровень. Это число равно

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝐶

_𝑖

=

4π

∞

∫

ν_𝑖

ε_𝑖ν

ℎν

𝑑ν

.

(26.3)

При 𝑔_𝑖ν отсюда получается выражение (23.7) для коэффициента рекомбинации 𝐶_𝑖.

Объёмный коэффициент излучения, обусловленный рекомбинациями на все уровни, очевидно, равен

ε

_ν

'

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁷π⁴

(6π)³^/²

𝑒¹⁰

𝑚²𝑐³ℎ²

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑘𝑇

⎞³/₂

⎟

⎠

×

×

∞

∑

𝑖=𝑗

𝑔_𝑖ν

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖-ℎν

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(26.4)

Здесь надо считать, что 𝑗=1 за границей лаймановской серии, 𝑗=2 от границы бальмеровской серии до границы лаймановской серии и т.д.

Аналогично можно найти объёмный коэффициент излучения ε_ν'', обусловленный свободно-свободными переходами. Пользуясь выражением (5.10) для объёмного коэффициента поглощения α_ν'' и законом Кирхгофа — Планка, получаем

ε

_ν

''

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁵π²

(6π)³^/²

𝑒⁶

𝑚²𝑐³

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑘𝑇

⎞¹/₂

⎟

⎠

𝑔

_ν

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(26.5)

Суммируя выражения (26.4) и (26.5), приходим к следующей формуле для объёмного коэффициента излучения, обусловленного как рекомбинациями, так и свободно-свободными переходами:

ε

_ν

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁵π²

(6π)³^/²

𝑒⁶

𝑚²𝑐³

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑘𝑇_𝑒

⎞¹/₂

⎟

⎠

×

×

⎡

⎢

⎣

𝑔

_ν

+2

χ₁

𝑘𝑇_𝑒

∞

∑

𝑖=𝑗

𝑔_𝑖ν

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

.

(26.6)

Имея в виду применение этой формулы к газовым туманностям, мы заменили в ней температуру 𝑇 на электронную температуру туманности 𝑇_𝑒.

Распределение энергии в непрерывном спектре, даваемое формулой (26.6), характеризуется той особенностью, что у пределов серий интенсивность излучения скачком возрастает при переходе от меньших частот к большим. Объясняется это появлением нового слагаемого в формуле (26.6), обусловленного рекомбинациями на более низкий уровень.

Как видно из формулы (26.6), излучение в видимой области непрерывного спектра примерно в равной мере обусловлено рекомбинациями и свободно-свободными переходами (при 𝑇_𝑒≈10 000 K). С другой стороны, как мы знаем из §22, каждая рекомбинация на третий и более высокие уровни обязательно приводит к появлению одного кванта в бальмеровских линиях. Следовательно, число квантов в бальмеровских линиях должно быть по порядку величины равно числу квантов в непрерывном спектре. Но излучение в линиях сосредоточено в очень узких интервалах частот. Поэтому рассматриваемый непрерывный спектр должен играть роль лишь слабого фона для эмиссионных линий. Найдём для примера отношение числа квантов в линии 𝙷_β к числу квантов в бальмеровской континууме. Очевидно, что это отношение равно

𝑛₄𝐴₄₂

𝑛_𝑒𝑛⁺𝐶₂(𝑇_𝑒)

=

𝑧₄

𝐴₄₂

𝐶₂(𝑇_𝑒)

,

и, как показывают подсчёты, оно порядка единицы. Таким образом, в одной линии 𝙷_β излучается примерно столько квантов, сколько во всем бальмеровском континууме.

Изложенная теория качественно согласуется с результатами наблюдений. Как известно, непрерывный спектр газовых туманностей действительно весьма слаб. Вместе с тем наблюдается скачок интенсивности у предела бальмеровской серии, характерный для рекомбинационных спектров. Однако количественное согласие между теорией и наблюдениями отсутствует.

Из формулы (26.6) видно, что теоретическое распределение энергии в непрерывном спектре следует закону

𝐻

_ν

~

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

.

(26.7)

Подставляя это выражение для потока излучения 𝐻_ν в соотношение (6.18), получаем следующую зависимость между спектрофотометрической температурой 𝑇_𝑐 и электронной температурой 𝑇_𝑒:

-

ℎ

=

3

-

ℎ

1

.

𝑘𝑇

_𝑒

ν

𝑘𝑇

_𝑐

1-exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν

⎞

⎟

⎠

𝑘𝑇

_𝑐

(26.8)

Пренебрегая здесь величиной

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν

𝑘𝑇_𝑐

⎞

⎟

⎠

по сравнению с 1, для участка спектра вблизи линии 𝙷_β находим

1

𝑇_𝑐

-

1

𝑇_𝑒

=

1

10000

.

(26.9)

При 𝑇_𝑒=10 000 K это соотношение даёт: 𝑇_𝑐=5 000 K. Однако наблюдённые спектрофотометрические температуры туманностей оказываются значительно более высокими. Вместе с тем и наблюдённая интенсивность непрерывного спектра туманностей в визуальной области заметно превосходит его теоретическую интенсивность (по отношению к интенсивности бальмеровских линий). Поэтому можно сделать вывод, что в туманностях существует какой-то дополнительный источник свечения в непрерывном спектре.

К такому же выводу можно прийти и путём рассмотрения бальмеровского скачка. Теоретический бальмеровский скачок, как следует из формулы (6.19) и (26.6), даётся выражением

𝐷

=

lg

1+2

χ₁

𝑘𝑇_𝑒

∞

∫

𝑖=3

1

𝑖³ exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

1+2

χ₁

𝑘𝑇_𝑒

∞

∫

𝑖=2

1

𝑖³ exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

,

(26.10)

где принято 𝑔_ν=1 и 𝑔_𝑖ν=1. Мы видим, что в данном случае 𝐷<0. Величина 𝐷 зависит только от электронной температуры и может быть вычислена для каждой туманности (при значении 𝑇_𝑒, полученном по интенсивностям запрещённых линий). Однако наблюдённые значения величины 𝐷 оказываются больше вычисленных. Очевидно, что это можно объяснить влиянием дополнительного излучения.