Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

[Хочется заметить, что нахождение настоящей оптимальной стратегии в этой игре — задача далеко не тривиальная; я её не смог рассчитать даже для двух игроков и для двузначных чисел (двух клеточек). В самом деле, задача, по крайней мере для второго игрока, не сводится к максимизации математического ожидания. Допустим, выпало 5; ставить ли его в первую клетку (десятки) или во вторую (единицы)? Ответ зависит от того, что стоит в 1-й клетке у 1-го игрока. Если там стоит 6, то, ставя 5 в 1-ю клетку, мы хотя и максимизируем своё математическое ожидание, но делаем вероятность выигрыша равной нулю, в то время как поставив её в другую клетку, мы могли бы ещё надеяться, что в следующий раз выпадет 6 и мы выиграем.

А первый игрок — должен ли он максимизировать своё математическое ожидание, или его наилучшим ответом на оптимальную стратегию второго игрока является какая-то другая стратегия? С ростом количества игроков ситуация усложняется ещё сильнее.]

Задание 3. Что видит человек, сидящий напротив? Я посадил Диму и Женю за столом напротив друг друга, и, кладя между ними по очереди 5 листов с рисунками, дал такое задание: Дима должен нарисовать то, что видит Женя, а Женя — то, что видит Дима. Картинки, которые я использовал, показаны на рис. 108.

Рис. 108.Один из этих рисунков лежит перед вами на столе; вам нужно нарисовать то, что видит человек, сидящий напротив вас.

Мальчики справились с заданием неплохо, по крайней мере лучше, чем я ожидал, хотя, конечно, были и ошибки. Естественно, это задание оказалось труднее другого, дававшегося ранее: нарисовать фигурку вверх ногами. Забавно вот что: Дима один раз схитрил — нарисовал фигурку как видит её он сам, а потом перевернул лист бумаги. Но даже и это не помогло ему догадаться, что задача эквивалентна переворачиванию фигуры.

Кроме геометрической идеи, содержащейся в этой задаче, в ней имеется ещё идея рефлексии («что знает другой?»). Я давно мечтаю придумать задачи на эту тему, но всё нет идей. Впрочем, сейчас родилась одна мысль: показывать карточки с числами одной стороной к одному игроку, другой к другому. Надо обдумать.

Картинки из книги Глейзера «История математики в школе»[33] — изображение цифр и чисел в разные времена у разных народов. Я преследовал две цели. Во-первых, одним из моих замыслов, пока плохо осуществляемых, является подчёркивание семиотической функции математики, и, в частности, той идеи, что системы обозначений можно изобретать, что они могут быть разными для одного и того же и что они вообще существуют и важны. А вторая цель — по существу не цель, а так… просто я решил, что надо почаще показывать детям картинки из разных книг, сделав это традицией. Кроме общекультурного интереса, это решает и проблему утомления, которое неизбежно возникает к концу занятия.

Занятие 60. Рефлексия

7 февраля 1983 года (понедельник). 17⁰⁰-18¹⁵ (1 час 15 мин.). Дима, Женя.

Задание 1. Расстановка стульев.

Лист бумаги — это «комната», фишки — «стулья». Требуется расставить 4 стула так, чтобы у каждой стены стояло по 2 стула. Дима сказал:

— А Боря уже решал с нами эту задачу, — и расставил стулья по углам.

Я добавил 5-й стул (задание то же — должно быть по два стула у каждой стены). Ребята справились (один стул в углу надо заменить на два стула у двух стен, примыкающих к этому углу). Я добавил 6-й стул; тоже справились. Я добавил 7-й стул. Тут наступила заминка. Решения для пяти и шести стульев они не воспринимали как модификацию предшествующих решений, а как самостоятельные решения отдельных задач. Однако на них продолжала давить идея, что стулья надо ставить в углы. Для 7 стульев лишь один из них надо было поставить в угол; однако мальчики начинали с того, что ставили несколько стульев в углы — и вот всё дело стопорилось. После множества неудачных попыток они уж было совсем отчаялись, и я даже уже сказал, что это будет их домашним заданием, но тут Дима сделал последнюю попытку — и справился с задачей.

Тогда я добавил 8-й стул; эта задача тоже была решена (опять Димой). Я предложил ещё и 9-й стул; никто не выразил твёрдого убеждения, что это невозможно, но все согласились, что это, наверное, трудно.

Задание 2. Ребусы. Ребусы были примитивные, односложные:

Решение первой задачи я объяснил сам, а остальные три решили ребята.

Задание 3. Вероятностная игра. Игра та же, что в задании 2 предыдущего занятия, только тот, чьё число было самым большим, получал 3 очка, следующий — 2 очка, а обладатель самого маленького числа — 1 очко.