Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

14 февраля 1983 года (понедельник). 17¹⁰-18⁰⁰ (50 мин.). Дима, Женя.

Задание 1. Устные вопросы.

(1) Два отца и два сына поделили между собой три апельсина, да так, что каждому досталось по целому апельсину. Как это могло случиться?

Эту задачу ребята не решили, предлагая в качестве ответа разные глупости. Тогда я задал другой вопрос:

(2) У одного отца 6 сыновей, и у каждого сына есть сестра. Сколько всего детей у отца? Последовал ответ: 12. Трудный момент: я не знаю, что делать в такой ситуации. Я спросил, сколько у отца получилось сыновей и сколько дочерей; оказалось, 6 сыновей и 6 дочерей.

— Значит, сколько у каждого сына сестёр?

— Шесть.

— А тогда решите такую задачу: у отца 6 сыновей, и у каждого сына 6 сестёр; сколько всего детей?

— Ой, это совсем много считать надо!

Я решил попробовать с другого конца. Сначала показал, как получить 4 + 4 = 5 (взял 4 пальца на одной руке и другие 4 пальца на той же руке). Потом сказал, что 2 умножить на 2 будет 4, а 2 десятка умножить на 2 десятка вовсе не будет 4 десятка. Тут Дима стал считать; сначала сказал, что будет 40 десятков.

— То есть, 400? — спросил я.

Но он мне не поверил, что будет 400, стал считать — и насчитал 280! Опять затык. Когда, наконец, досчитали, то уже все забыли, зачем мы это делаем.

Короче, когда мне всё же удалось натолкнуть их на правильное решение первых двух задач, они восприняли их без особого интереса, и всё кончилось к полному взаимному неудовлетворению.

Задание 2. Сумма невидимых чисел (фокус). В клетках таблицы (в моём конкретном примере таблица имела размер 12x12) стоят разные числа. Я отворачиваюсь, а ребята закрывают плотной непрозрачной полоской 4 соседние клетки по горизонтали или по вертикали. После этого я взглядываю

Сумма невидимых чисел на таблицу и сразу называю сумму спрятанных чисел. Разгадка фокуса в том, что сумма чисел в любых 5 соседних клетках (по горизонтали или по вертикали) всегда одна и та же, в данном случае 20. Поэтому, чтобы найти сумму спрятанных чисел, нужно из 20 вычесть число, стоящее рядом с полоской (слева или справа, если полоска лежит горизонтально, сверху или снизу, если вертикально), рис. 109.

Рис. 109.Закрыты четыре клетки; сумма чисел, стоящих в этих клетках, равна 17. Разгадка в том, что сумма чисел в пяти соседних клетках всегда равна 20; поэтому, видя, что в пятой клетке стоит 3, мы находим 20 — 3 = 17.

Фокус произвёл колоссальное впечатление. Ребята вполне были готовы предположить, что я просто запомнил расположение всех чисел, или что я как-то умею проглядывать сквозь полоску, или ещё что угодно.

Дима долго выклянчивал у меня разгадку. Я не говорил. Вечером он уселся изучать таблицу. Ещё раньше он заметил, что строки и столбцы периодичны: если сдвинуть их на 5 клеток, то числа повторяются. Пользуясь этим, он научился находить полоску из 4 клеток, параллельную закрытой полоске и содержащую те же числа, и потом их складывал (рис. 110). Так что в итоге он научился показывать этот фокус, но только очень медленно.

Рис. 110. Пользуясь периодичностью таблицы, находим строку, содержащую те же числа, и складываем их.

До этого, когда он предлагал всякие нелепые объяснения, я каждый раз повторял:

— Ну, так ты сам теперь можешь показывать этот фокус? Если ты считаешь, что я просто запомнил все числа, запомни их и ты, вот и весь секрет.

Теперь, когда он и в самом деле научился показывать фокус и почти пришёл к выводу, что я просто считаю быстрее, чем он, мне пришлось открыть ему секрет.

Задание 3. Та же задача на рефлексию, что и в прошлый раз, но со слегка изменёнными условиями: кто первый правильно ответил, получает 2 очка, кто второй правильно ответил, получает 1 очко. За неправильный ответ (или неопределённый ответ «не знаю») — О очков независимо от очерёдности. Игра окончилась вничью: каждый заработал по 28 очков.

Характерно, что Женя применял смешанные стратегии: видя 2, он не выжидал, а сразу и твёрдо заявлял либо 3, либо 1 — и иногда угадывал, получая 2 очка. При этом он своей решительностью сбивал Диму: например, Дима видит 3, и при этом Женя твёрдо заявляет:

— Три!

Тогда Дима говорит:

— Четыре, — и получает 0 очков.

Интересно, какая стратегия здесь оптимальна.

Картинки. Я показал несколько картинок из «Кванта» и из других книг, в основном связанных с многогранниками. В частности, знаменитую картинку Кеплера (из «Мировой гармонии») с последовательно вписанными друг в друга сферами и правильными многогранниками (сферы представляют собой планетные орбиты).