Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Занятие 63. Разум против случайности

28 февраля 1983 (понедельник). 17¹⁵-18¹⁵ (1 час). Дима, Петя, Женя.

О понятии множества. Мы выясняли, каким словом называется много коров (стадо), много птиц (стая), много цветов (букет), много спортсменов (команда) и т. д. Потом я объяснил, что в математике, чтобы не вводить так много разных слов, говорят всегда одинаково: множество. Поэтому нельзя сказать «букет коров» или «стая цветов», но можно сказать «множество коров» и «множество цветов».

Задание 1. Устная задача. Брат старше сестры в два раза; а год назад он был старше её в три раза. Как это могло произойти?

Мальчики предлагали самые фантастические объяснения: что это другие дети; что сестра — дочка не той же мамы, а мачехи; что брат мало ел и поэтому медленнее рос (Дима спрашивал: «Он старше по росту или по возрасту?»). Когда я все эти объяснения отмёл, они твёрдо заявили, что такого быть не может.

Дальнейшее показало (см. задание 4), что они не знают, что значит «в два раза старше» и «в три раза старше». В частности, Петя, придя домой, рассказал родителям эту задачу так:

— Брат старше сестры на два года; а год назад он был старше её на три года…

Задание 2. Смертная казнь, или как воздействовать на удачу. Один из ребят («палач») выходил в коридор; другой («казнимый») получал 8 шариков — 4 белых и 4 чёрных. Эти шарики он должен был разложить, как сам пожелает, по двум коробкам. Затем возвращался палач, выбирал наудачу одну из коробок, а из неё — наудачу один из шариков. Чёрный шар означал «казнь», а белый спасение. Каждый подвергался этой процедуре 6 раз, а чтобы не забыть, получал после каждой казни чёрный жетончик, а после каждого спасения — белый жетончик.

В итоге Дима был казнён 3 раза, Петя тоже 3, а Женя — 2 раза. Петя с самого начала избрал наилучшую стратегию: в одну коробку клал один белый шар, а в другую — 3 белых и 4 чёрных. При этом вероятность спастись равна

(1/2)∙1 + (1/2)∙(3/7) = 5/7

а вероятность гибели, соответственно, 2/7. Однако результат его после первых двух испытаний был 1:1, хуже, чем у Жени, который играл без всякого особого смысла, но оба первых раза выиграл. Дима же с самого начала избрал наихудшую возможную стратегию: клал отдельно один чёрный шар (при этом, наоборот, вероятность погибнуть равна 5/7, а вероятность спастись — 2/7).

Петя даже воскликнул один раз:

— Ой, Димка, что ты себе сделал!

Тем не менее, и его результат, как и у Пети, был 1:1. Отчасти это, как и дальнейшие результаты, объяснялось ещё и тем, что Женя, будучи палачом, подглядывал в коробки перед тем, как вытащить шар.

Логику Димы можно себе представить примерно так: авось повезёт, и коробку с чёрным шаром не выберут; а тогда во второй коробке будет зато на один чёрный шар меньше (ну, если не повезёт и выберут первую коробку, так уж ничего не поделаешь; в конце концов, ведь в любом случае может не повезти). Следуя этой логике дальше, он потом немного улучшил свою стратегию: стал изолировать в отдельной коробке сначала два чёрных шара, а затем все четыре; таким образом, он пришёл от наихудшей стратегии к средней, дающей равные шансы на выигрыш и проигрыш. Характерно, однако, что под его влиянием Петя ухудшил свою стратегию и тоже свёл её к средней. Женя же применил третью схему. Он заметил (по его словам), что коробки — разного цвета, одна сиреневая и одна синяя, и все всегда выбирают сиреневую коробку. Вот он и стал класть в неё по 2 белых шара.

Вообще, эта задача (точнее, не сама задача, а её материальное воплощение, данное мной) обладает двумя недостатками. Во-первых, это «субъективизм» в выборе коробки (Женя заметил, что чаще выбирают сиреневую; я сам заметил, что чаще выбирают левую). Надо бы сделать процедуру выбора более объективной, например, выбирать коробку подбрасыванием монеты. Во-вторых, шарики, положенные в коробку, детям не видны, и поэтому они не могут «следить за развитием событий». Надо бы обдумать эту задачу ещё раз.

Задание 3. Фокусы с задуманными числами (см. стр. 113). Демонстрация фокуса столкнулась с непредвиденными трудностями: Петя и Женя совершенно разучились считать. Когда я говорил «умножьте на 2», они не понимали, что это значит. Когда я говорил «поделите пополам», Петя мысленно представлял себе две половины, но обе вместе, и когда я после этого говорил «прибавьте 1», он не понимал, к чему прибавить (к одной половине или к обеим?).

Надо сказать, что Дима сам демонстрировал этот фокус, и притом вполне успешно: задавал довольно хитроумные последовательности действий и при этом не ошибался. Он всё порывался поскорее раскрыть секрет, а когда я ему не дал, он показал последний свой фокус так: «Задумай число, прибавь 1, отними задуманное; получилось 1». Но, кажется, его никто не понял.