Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Он продолжал кивать головой. Я закрыл четыре цифры и спросил, сколько будет в сумме. Его глаза округлились от ужаса: оказывается, от него не отстали, несмотря на поддакивание, и теперь приходится отвечать самому, а ведь он всё пропустил! Видно было, как он напрягся, пытаясь прокрутить в голове, что это такое я ему только что говорил. Уже через полминуты он прекрасно всё сообразил и сказал:

— Надо отнять четыре…

Ещё минуту у него заняло вычитание четырёх из двадцати — он всё никак не мог освободиться от скованности. Но когда это, наконец, удалось, он стал показывать фокус так же легко и быстро, как Дима.

Занятие 66. Топология

28 марта 1983 года (понедельник) 17¹⁵-18⁰⁰ (45 мин) Дима, Петя

Занятие было более коротким, чем обычно: мы ждали гостей, и я немножко спешил.

Задание 1. Гомеоморфизм букв (продолжение). Мы закончили русский алфавит, затем добавили к нему латинский, потом цифры, а потом ещё ноты и разные другие музыкальные значки (бемоль, диез, бекар). Вся эта совокупность фигур была расклассифицирована по топологической эквивалентности. Мальчики прекрасно справлялись с задачей, и, как правило, всё делали сами. Лишь в некоторых случаях они не смогли угадать гомеоморфизмов:  и некоторых других. Но и в этих случаях они сразу и легко понимали мои объяснения, а иногда достаточно было одного лишь ответа.

Надо будет придумать им ещё задачи на гомеоморфизм.

Задание 2. Домики и колодцы. Классическая задача: есть три домика и три колодца, и требуется от каждого домика к каждому колодцу провести по тропинке, да так, чтобы никакие две тропинки не пересекались (рис. 114).

Рис. 114.Три домика, три колодца и девять тропинок. Нарисовать тропинки на плоскости так, чтобы они не пересекались, невозможно.

У меня с этой задачей связано одно своеобразное воспоминание. Возраст не помню. Наша соседка по коммунальной квартире, вскоре умершая от алкоголизма, дала мне эту задачу, снабдив её таким комментарием, что, мол, тот, кто её решит, заработает очень много денег. Я, помню, долго возился… Через несколько лет я узнал её (не соседку, а за дачу) как старую знакомую в какой-то популярной книжке по математике.

Задача, как известно, неразрешима — соответствующий граф, обозначаемый К_3,3, не является планарным. Поэтому мальчики некоторое время повозились с нею, а потом я задал её в качестве домашнего задания. Дима всё удивлялся, что каждый раз получаются все тропинки, кроме самой последней.

Занятие 67. Четыре краски

28 апреля 1983 года (четверг). 17⁰⁰-18²⁰ (1 час 20 мин.). Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Игра «ним». Первый игрок пишет число от 1 до 10, второй добавляет к нему число от 1 до 10, третий тоже и т. д. Выигрывает тот, кто первый напишет число 100. Вообще-то игра рассчитана на двух участников. Если участников трое, то никто из игроков не может обеспечить себе победу, но в определённый момент один из них может по своему усмотрению «отдать» победу либо следующему за ним игроку, либо через одного. Так, получив от предшествующего игрока число 88, он уже не может выиграть сам (если его партнёры не поведут себя глупо), но может, написав, соответственно, 90 либо 89, дать победу следующему или через одного. Рано или поздно кто-нибудь из игроков обязательно оказывается в такой ситуации. Дима один раз отдал победу Жене и один раз Пете, Женя — один раз Диме и один раз мне (я участвовал в одной партии, последней).

Задание 2. Четыре краски. Сначала я показал детям географическую карту и объяснил, почему разные страны закрашиваются в разные цвета. Потом мы обсудили вопрос о том, что не обязательно все цвета делать разными (важно только, чтобы соседние страны можно было отличить друг от друга).

После этого я рисовал ребятам на листе бумаги разные «карты», всё более сложные, и они их «закрашивали» четырьмя красками. Слово «закрашивали» я взял в кавычки, так как фактически у нас были картонные жетоны четырёх цветов, и мы их просто клали на соответствующую страну. Такая система помогала легко пробовать разные варианты, менять раскраски, удалять ошибки и т. д.

Всего мы раскрасили три карты. В заключение я рассказал мальчикам о проблеме четырёх красок, о том, что её 100 лет никто не мог решить, и, наконец, о решении и о вычислительных машинах, которые делают миллион операций в секунду и которые работали 1200 часов, чтобы решить эту задачу.