Математика для гуманитариев. Живые лекции

Ну а теперь фокус-покус, ладно? А то лекция уже кончается.

Берем нашу цепную дробь для «корня из двух»:

Обрубаем, получаем приближенное значение для корня из двух:

Такую дробь можно превратить в некоторое рациональное число, то есть в некоторое отношение двух целых чисел. Получается 41/29.

Всё отлично.

А вот теперь берите калькулятор, пожалуйста. И возводите в квадрат 41 и 29. He забудьте, что 29 в квадрате при этом надо умножить на 2, «по просьбе Диофанта»:

41² = 1681,

29² = 841,

841 · 2 = 1682.

Ура! Они отличаются на единицу. Это те самые решения нашего уравнения

m² = 2n² ± 1. (4)

Мы нашли решение этого уравнения. Причем нетривиальное.

Теорема, которую я доказывать не буду (хотя она и не очень сложная), гласит: Где бы вы ни обрубили данную цепную дробь, всегда получается решение нашего днофантова уравнения.

Слушатель: Любое число разложу в цепную дробь, обрублю и получу решение какого-то похожего уравнения?

А.С.: Не для любого. Для любого числа, не являющегося квадратом. И обрубать надо будет аккуратнее, не в любом месте, как в случае с корнем из двух.

Например, уравнение m² = 9n² ± 1 не получится решить таким способом (впрочем, несложно показать, что у него всего два тривиальных решения (1, 0) и (−1, 0)). Но таких чисел довольно мало. Что же я могу подставить вместо 2 в уравнение (4): 3 — могу, 4 — не могу, так как квадрат; 5, 6, 7, 8 — могу, 9 — не могу, 10, 11, 12, 13, 14, 15 — могу, 16 — не могу, и так далее. Уравнение такого вида (см. подробнее об этом в следующей лекции) носит название уравнение Пелля. И, как обычно это бывает, Пелль не имеет к нему никакого отношения. В математике очень много фактов названо именами людей, которые никакого отношения к этому факту не имели. Шутки ради это явление математики тоже назвали «теоремой». Вот, получилось так, что эту теорему назвали теоремой Арнольда. Она самоприменимая (то есть Арнольд не является автором этой теоремы). Шутливую «Теорему Арнольда» придумал, вроде бы, Николай Николаевич Константинов и назвал теоремой Арнольда специально для того, чтобы она была самоприменимой, чтобы она тоже называлась не именем человека, который ее выдумал, а другим. Математики мыслят логически, даже когда они шутят!

Давайте все-таки, чтобы вас убедить, пообрубаем эту дробь в разных местах. Смотрите. 1 — это ведь «1 разделить на 1». Если подставить в уравнение (4) m = n = 1, то что получится?

1² = 2 · 1² − 1

(то есть (4) выполняется).

Обрубаем дальше. Будет 3/2.

Подставляем: 9 = 2 · 4 + 1.

Обрубаем еще раз. Получаем 7/5. Подставляем.

49 = 2 · 25 − 1.

Вы видите, что теорема верна.

Гуманитарию уже не надо доказывать теорему, он уже «видит», что она верна. Но математику нужно ее доказать, нужно установить, что это действительно всегда будет так. Мало того, оказывается, что все такие обрубания дадут вам решения этого уравнения, и других решений в задаче нет. Вообще никаких.

Слушатель: Ну, или мы просто не нашли?

А.С.: Нет. Доказали, что больше не существует.

Ну, последний фокус-покус. Но берегитесь, он страшный. Знаете ли вы, что такое бином Ньютона? Это — правило, по которому раскладываются выражения, в которых вы много раз умножили одну скобку на себя. В школе проходят (а + b)(a + b) = а² + 2аb + b². Еще проходят: (а + b)(а + b)(а + b) = а³ + 3а²b + 3ab² + b³. Но есть некая формула, которая верна всегда, для любого количества скобок. Считается, что ее придумал Ньютон, но на самом деле ее, скорее всего, знали и до него. Просто он ее огласил. Так вот, бином Ньютона тоже помогает искать решения уравнения m² − 2n² = ±1. Ниже мы снова за К обозначим корень из двух.

Возьму (1 + К)² = 1 + 2К + 2 = 3 + 2К. Решением будет пара (m = 3, n = 2), и мы уже выше встречались с ним. Но, может, это случайно так совпало?

Возведение в куб вас должно уже убедить. Имеем:

(1 + К)³ = 1 + ЗК + 6 + 2К = 7 + 5К.

Не правда ли, это следующее решение нашего уравнения? Здесь m = 7, n = 5.

Возведем в четвертую степень. А это всё равно, что возвести два раза во вторую, один раз в нее мы уже возводили.

(1 + К)⁴ = (3 + 2К)² = 9 + 12К + 8 = 17 + 12К.

Проверяем:

17² = 289,

12² = 144,

144 · 2 = 288.

Получается: 289 = 288 + 1.

Это работает!

До встречи на лекции 4.

Лекция 4 Всего вам взаимно-однозначного!

А.С.: На прошлой лекции я сказал кое-что про решение уравнения вида х² − 2у² = ±1. Тогда обозначения были другие. Но на то это и математика, что «хоть горшком назови». В этой лекции переменные, значения которых мы ищем, будут обозначаться «x» и «у». Теперь кое-что уточним. Можно взять вместо числа 2 любое натуральное число m и записать аналогичное уравнение: х² − mу² = ±1.