Математика для гуманитариев. Живые лекции

В костромской области каждые полгода проводится школа для сильных школьников. Вот они у нас где-то за часик этот корень из 61 раскладывали. Потом еще минут десять сворачивали дробь, и на выходе получали два числа порядка миллиарда. Которые, если подставить в наше уравнение, чудесным образом дают решение уравнения Пелля.

Цепная дробь (или алгоритм Евклида, который ее породил) может быть изложена геометрическим образом. Полезно знать, какая геометрия за этим стоит. Ниже я ее изображу.

Немного уточню теорему Лагранжа, что приблизит нас к термину алгебраические числа. Что такое рациональное число? Мы договорились, что это «целое делить на целое» (то есть m/n). Можно написать и по-другому. Рациональное число — это корень (то есть решение) уравнения m − nх = 0.

Например, 17/15 — корень уравнения 17 − 5x = 0. Подставьте х = 17/15 и проверьте это.

К чему мы приходим? К более широкому подходу. Рациональные числа — это корни вот таких линейных уравнений, то есть уравнений первой степени с целыми коэффициентами.

Корнем какого уравнения является число «корень из двух» (обозначим его просто К)? Нужно написать выражение с иксом, у которого целые коэффициенты, такое, что при подстановке получится 0. Вот оно: x² − 2 = 0.

Оно 2-й степени. Вот я и говорю поэтому: К — число не рациональное. Ведь это уравнение нелинейное, оно второй степени.

А если я напишу: x¹⁰ − 3 = 0?

Что я получу на выходе? Корень 10-й степени из 3. Число не рациональное, удовлетворяющее уравнению, где слева стоит многочлен с целыми коэффициентами.

Напишем произвольное уравнение 2-й степени: ах² + bх + с = 0 (тут, конечно, «а» не равно нулю).

Такое уравнение вы, без сомнения, изучали в школе. Но вы изучали его для произвольных а, b, с. А мы будем рассматривать только целые. То есть многочлен, в котором целое число раз взята единица (либо минус единица) — получилось «с», потом целое число раз взят х (с тем или иным знаком) — это будет «b», и целое число раз взят x² (это — «а»). Решаем квадратное уравнение по известной формуле:

Мы получили выражение, использующее при своем построении операцию извлечения квадратного корня один раз. Так вот, теорема Лагранжа звучит так: если х является решением уравнения

ах² + bх + с = 0

с целыми коэффициентами, то тогда его цепная дробь будет либо конечной (если вдруг решение окажется рациональным), либо периодической. Верно также обратное утверждение. Если цепная дробь устроена так, что у нее, начиная с некоторого места, возникает периодическое повторение целых частей, то она удовлетворяет такому уравнению с целыми коэффициентами.

А вот теперь, опираясь на эту теорему, я могу вам дать основное определение. Число называется алгебраическим, если оно является корнем хотя бы одного уравнения с целыми коэффициентами произвольной длины. Не обязательно квадратного, как у нас, а произвольного (многочлен любой степени).

А трансцендентное число — это число, которое не является алгебраическим. С этим связана долгая история. Стоял вопрос, существуют ли трансцендентные числа вообще. Древним грекам было известно, что длина диагонали квадрата не является рациональным числом. Это было очень неудобно древним. Но, с другой стороны, она удовлетворяет элементарному квадратному уравнению, то есть является алгебраическим числом. Возникает вопрос: все ли числа алгебраические? Ответ — нет. Математик Ж. Лиувилль, живший в середине XIX века, просто выписал конкретное число и доказал, что оно не является алгебраическим. С этого всё и началось. На самом деле алгебраических чисел неизмеримо меньше, чем не алгебраических, то есть трансцендентных.

Грубо говоря, если вы возьмете вещественную ось и случайно воткнете в нее булавочку нулевой толщины, вы практически наверняка попадете в неалгебраическое число.

Мы с вами на 3 лекции какую-то задачу решали с какой-то железкой (помните? — которую надо куда-то отправить, чтобы она встала в вертикальное положение). Если вы эту железку наугад взяли где-то, со свалки, установили на шарнир и стали отправлять ровно с той силой, чтобы она за бесконечное время встала в вертикальное положение, то сила, наугад взятая, будет трансцендентная. На самом деле сама железка тоже будет трансцендентной по своей длине. Есть самая большая загадка, которая обычно совершенно не понятна людям, не занимающимся математикой. Как это — бесконечности могут быть разные? Вот как можно представить, что бесконечности разные? Вроде бесконечность, она и есть бесконечность. Они все одинаковые. Это один наивный взгляд. Другой наивный взгляд на вещи состоит в том, что, наоборот, почти все бесконечности разные. Вот, скажем, возьмем множество всех натуральных чисел и множество всех целых чисел. Каких больше?

Слушатель: Целых.

А.С.: «В два раза больше», если вы думаете «в наивном ключе» о бесконечности. Или, так же наивно: «Чисел, которые делятся на 3, в 3 раза меньше, чем всех натуральных чисел». А и тех, и других — бесконечно много.