Математика для гуманитариев. Живые лекции

Подмножество В вполне конкретное — это все числа, которые сами не входят в подмножество с их номером. То есть 15 вошло в В, 195 — не вошло. И так далее. Этому подмножеству В тоже должен быть присвоен некий натуральный номер b. Это же подмножество. Но если каждому подмножеству присвоен номер (по нашему предположению), то такому подмножеству тоже присвоен номер. Вопрос: число b входит ли в подмножество В? С какой вероятностью вы встретите крокодила на улице (если вы не знаете вообще, что такое «крокодил»)?

Слушатели: 50 на 50.

А.С.: Да, правильно, девушки дорогие! Вот это вы правильно говорите. Либо встретите, либо не встретите. Правда? Значит, номер b либо принадлежит подмножеству В, либо не принадлежит. Сейчас я докажу, что не может быть ни того, ни другого. То есть сейчас я докажу, что вы не можете ни встретить крокодила, ни не встретить. Ни то, ни другое не может произойти. И это будет то самое противоречие, которое будет устанавливать тот факт, что соответствия между множеством и множеством его подмножеств не бывает. Потому что оно выведено, исходя из того, что мы смогли устроить такое соответствие.

Поехали. Я утверждаю, что «инвентарный» номер подмножества, которое состоит из таких натуральных чисел, что их собственное подмножество их не содержит, не может ни содержаться в В, ни не содержаться в В. Предположим, что номер b содержится в В. Это значит, что он не может входить в множество тех чисел, которые в своих множествах не содержатся.

Слушатель: И значит, он не содержится в множестве В.

А.С.: И значит, он не содержится в В. А теперь представьте себе, что он не содержится в В.

Слушатель: Но тогда он должен содержаться, потому что он элемент В по определению множества В.

А.С.: Да. Тогда он должен содержаться в В. То есть если он содержится, то он не содержится, а если он не содержится, то содержится. Теорема доказана методом «от противного», ибо мы пришли к чисто логическому противоречию.

Вот она, математическая логика. Добро пожаловать! Каждый 6-й логик, как говорят, сходит с ума. Это мне говорил мой учитель, он тоже математический логик, но не шестой.

Делаем дальнейший вывод — это множество подмножеств больше, чем само множество. (Подсказка: во множестве всех подмножеств находятся все одноэлементные подмножества.) Заманчивой является мысль, что это не только для подмножеств натурального ряда чисел справедливо, но и вообще для подмножеств ЛЮБОГО множества. Но понятие «любое множество» так вдохновило некоторых математиков, что в ход пошли совершенно ужасающие множества типа «множество всех мыслимых множеств». (Или, например, множество плохо совместимых слов «огород», «бузина», «Киев», «дядька» из известной поговорки.) И возникли крупные математические проблемы с такими множествами. Но теория Кантора выдержала это нашествие «безумных множеств». Просто пришлось внести необходимые уточнения в некоторые исходные понятия.

Вот еще один яркий образчик «безумных математических объектов». Рассмотрим некоторый шар. Например, футбольный мяч. Есть способ разбить этот шар на конечное число кусков, из которых потом можно будет составить ровно два шара такого же размера. То есть вы берете футбольный мяч, берете ножницы, разрезаете мяч на несколько кусков, они совершенно безумно устроенные, но все-таки куски. Потом кххх… и у вас два футбольных мяча. Всё. Математики — такие вот фокусники.

Слушатель: Такого же размера?

А.С.: Абсолютно такого же размера.

Другой слушатель: Но это в теории возможно?

Слушатель: Только в теории и возможно. А на практике?