Математика для гуманитариев. Живые лекции

Оказывается, математика дает безжалостный ответ, совершенно безжалостный: целых чисел столько же, сколько натуральных. Как говорил один шутник: «На этот вопрос есть два мнения — одно из них Мое, а другое — Неверное». В отличие от обычного шутника, с которым можно и поспорить, с математическими «шутками» не поспоришь, ибо они обоснованы строгими доказательствами.

Слушатель: Кстати, и алгебраических чисел столько же.

А.С.: И алгебраических чисел тоже столько же, сколько натуральных. И рациональных чисел столько же, сколько натуральных, потому что единственный правильный способ, единственный непротиворечивый способ придать значению «столько же» какой-то научный смысл это установить между двумя множествами взаимно однозначное соответствие. То есть каждому целому сопоставить некоторое натуральное и наоборот. Сделать это для множеств целых и натуральных чисел весьма просто (рис. 68):

Рис. 68. Натуральных чисел хватает, чтобы перенумеровать все целые числа.

То есть вы сможете все целые числа перенумеровать. У вас каждое целое число в конце концов получит один однозначно определенный номер. Да, кажется, что целых чисел вдвое больше, чем натуральных, но это неправда, на самом деле и тех, и других одинаковое количество. Мы их пересчитали (и ни одного не пропустили). Грубо говоря, целые числа можно перечислить. Все целые точки плоскости тоже можно перечислить (рис. 69).

Начинаю с точки (0, 0) это будет моя 1-я точка, и дальше по спирали. И в конце концов каждая целая точка плоскости получит свой один-единственный уникальный номер. Все номера будут заняты, все целые точки плоскости будут перечислены. Представьте себе, что у вас есть комната, в которой бесконечное количество стульев, и в нее заходит бесконечное количество учеников, как понять, что это одинаковые количества?

Слушатель: Посадить учеников на стулья.

Рис. 69. Начнем с точки (0, 0) и будем обходить ее постепенно расширяющимися оборотами. Каждому из узлов при этом присваивается какой-нибудь не повторяющийся номер: точке (0, 0) номер 1, точке (1, 1) номер 2, и так далее.

А.С.: И если они займут все стулья, каждый ученик сидит на одном стуле, все стулья заняты, и стоящих учеников нет, то вы констатируете тот факт, что стульев и учеников одинаковое количество.

Врезка 7. Как Кантор размышлял о «взаимно-однозначных» процессах

Выше было доказано, что учеников «ровно столько, сколько стульев» (притом и тех, и других — бесконечное количество). Но ведь тем же способом я сейчас докажу, что учеников (то бишь натуральных чисел) БОЛЬШЕ, чем стульев (то бишь целочисленных точек на плоскости). В самом деле: ученика номер 1 я вообще отправлю домой «как лишнего», на первый стул посажу ученика № 2, на второй — ученика № 3, и так далее. Итак, я доказал два взаимоисключающих факта: 1) что учеников и стульев одинаковое количество; и 2) что учеников БОЛЬШЕ, чем стульев. А захотел бы — доказал бы и что 3) стульев БОЛЬШЕ, чем учеников. Так что же, для бесконечных множеств, что ли, в принципе нельзя сказать, какое из них «больше»?!

Другой бы ученый на том и успокоился. Но гениальность Кантора позволила ему найти верную дорогу в этом мраке. Он спросил себя: а как было с этими теоремами для конечных множеств? Для конечных эти три теоремы несовместимы друг с другом, и любая из них может быть использована для выяснения, какое из множеств больше: учеников или стульев. А какой же из трех надо пользоваться для сравнения бесконечных множеств? Оказалось, что для бесконечных множеств надо взять за основу способ 1: если хоть каким-то образом удалось установить взаимно-однозначное соответствие между учениками и стульями, значит, торжественно объявляем эти два множества «равномощными» и не поддаемся ни на какие провокации типа «способа 2» или «способа 3». Только так можно построить непротиворечивое сравнение множеств по мощностям. «В наказание» за это Кантору пришлось доказать несколько труднейших теорем, которые, к сожалению, не только нельзя «по-простому» пояснить гуманитариям, но даже и у будущих математиков (студентов 2-го курса мехмата МГУ) с пониманием их доказательства возникают большие проблемы. Но хотя их трудно понять и воспроизвести, их уже нельзя «запретить» подобно тому, как пифагорейцы хотели «запретить» иррациональные числа — ведь Кантор всё обосновал строго математически, а другие с этим согласились.

Слушатель: А если у нас, допустим, две сферы, маленькая и большая?

А.С.: Как множества точек это одно и то же (то есть они равномощны). Объясню на примере окружностей (вместо сфер). Установим взаимно однозначное соответствие (рис. 70).

Рис. 70. Проводя лучи из общего центра двух окружностей, устанавливаем взаимно-однозначное соответствие между их точками. (Более того, оно же отвечает важному условию: близким точкам одной окружности соответствуют близкие точки другой.)