Математика для гуманитариев. Живые лекции

В принципе, почти ничего не изменится в общем ходе решения. Единственный вариант, при котором будут различия, это когда m представляется в виде квадрата натурального числа (4, 9, 16, 25…), — тогда такое уравнение по неким очевидным причинам никаких решений, кроме x = ±1, а у = 0, не имеет.

В самом деле, попробуем найти нетривиальные решения уравнения х² − 9у² = ±1, то есть x · x = (3у) · (3у) ± 1. При «у», не равном нулю, получается, что квадраты двух целых чисел «x» и «3у» отличаются на единицу. Так мало они отличаться НЕ МОГУТ. Даже квадраты соседних целых ненулевых чисел (скажем, М и М + 1) отличаются больше, чем на 1, а именно: отличие их равно 2М + 1, причем М не равно 0.

Для всех остальных m прием, которым мы пользовались ранее при решении этой задачи, срабатывает. А прием этот был такой: нужно корень из m разложить в цепную дробь. То есть выделяем целую часть, потом «переворачиваем» оставшуюся дробную часть, получаем число, большее единицы, в нём опять выделяем целую часть, и так далее:

Я сказал в лекции 3, что для получения решения уравнения мы можем обрубить дробь в любом месте, привести к виду «целое число разделить на целое», и числа, которые получатся в числителе и знаменателе, будут нашими решениями. И для m = 2 это действительно можно делать на любом месте. Но если это утверждение применить для других значений m, то получится, что я немного обманул вас. Есть теорема, доказанная Ж. Л. Лагранжем, которая утверждает, что если мы разложим корень из числа, не являющегося квадратом, в цепную дробь, то цепная дробь начиная с некоторого места начнет повторяться. Появится период.

Врезка 6. О бессилии «наблюдения» без «доказательства»

Понятие периода последовательности не такое простое, как хотелось бы думать. Более того, это понятие демонстрирует бессилие прикладной математики для установления фактов чистой математики. Например, допустим, что прикладной математик изучает поведение следующей последовательности десятичных цифр: 2223222322232223.. Что скажет при этом «совсем простой наблюдатель»? То, что имеется период «2223», состоящий из 4 цифр. Более «утонченный наблюдатель» возразит: не будем спешить, понаблюдаем дальше за поведением этих цифр хотя бы до 34-го места. Сказано-сделано: получили

22232223222322237 22232223222322237…

Что, убедились?! Период-то имеет длину не четыре, а семнадцать! Но обиженный «простой наблюдатель» возразит: погодите радоваться. Понаблюдаем теперь хотя бы до сотого места. И увидели, что на 69-м месте (после семерки на 68-м месте) стоит не цифра 2 (как они оба ожидали), а цифра 0. Вот тут-то они призадумались… А есть ли вообще период у этой последовательности? И может ли «простое наблюдение» дать обоснованный ответ на этот вопрос? КОНЕЧНО, НЕТ! — скажет им чистый математик. Если у нас в результате наблюдения появилась гипотеза, что период равен 2223, то надо остановиться, проверить, есть ли научные предпосылки для доказательства этого (либо для опровержения этого), и продолжать исследование дальше. И если возможную длину периода не удалось определить или ограничить сверху никакими «наблюдениями», это вовсе не означает, что последовательность непериодическая! Это означает, что пока что чистому математику не удалось решить эту проблему (может, потому, что он плохо ее решал).

Это, конечно, не означает, будто бы мы не доказали, что для разложения «корня из двух» период начинается сразу, и длина его равна единице, а сам период равен «2». В данном случае не просто повторяются числа 2222…, начиная со второго места, а повторяются условия для повторения этого числа. Ниже мы не будем углубляться в эту философскую проблему, а просто предположим, что уже «кем-то» доказано наличие именно периода такой длины, и именно из таких чисел.

Мы раскладывали для самого простого случая, и в нём сразу пошел период: целые части со второго места равны 2, 2, 2, и т. д. Если бы я обрубал цепную дробь в любом месте для любого m, я совершил бы ошибку. А на самом деле обрубать нужно ровно в конце периода, то есть в том месте, где начинается повторение. Начало периода — это как раз самое большое число. В этом месте и нужно обрубать, игнорируя весь последний отрезок дроби, начиная с самого большого числа. Например, в идущем ниже примере мы доходим до 4 и обрубаем. В следующий раз можем обрубить перед второй четверкой, и т. д.

Но это был модельный пример, не относящийся ни к какому m.

Например, бывает, что повторение начнется на 7 или 8 ступеньке дроби, или еще дальше. Число 61, среди первых 100 чисел, самое неприятное в нашем смысле. Ибо √61 очень долго раскладывается в цепную дробь, пока не повторятся условия, обеспечивающие циклическое повторение всех выделяемых далее целых частей. И поэтому самые маленькие решения уравнения x² − 61у² = ±1 будут больше миллиарда.