Математика для гуманитариев. Живые лекции

Поэтому случай теоремы Ферма для чисел n, являющихся какой-то степенью двойки, сводится к n = 2. В других случаях решений нет.

Вспомним, какой случай мы еще не рассмотрели: n содержит нечетный простой делитель p, n ≠ 1 (кстати, 1 тоже является степенью двойки), то есть n = pk. Тогда:

(x^k)^p+ (y^k)^p = (z^k)^p.

Получается, что если у n есть простой нечетный делитель p, то несуществование решения уравнения Ферма с показателем n сводится к несуществованию решения уравнения степени p.

То есть теорема Ферма сводится к исследованию уравнения простой нечетной степени. И если мы знаем, что ни при каком простом нечетном n уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ не имеет решения, то оно не имеет решения и ни при каком другом n ⩾ 3. А теперь — история вопроса.

Про уравнение второй степени было известно уже древним индусам. Уравнение третьей степени оказалось более сложным. Почти полное решение, которое потом довели до конца, было получено Леонардом Эйлером. В лекции 4 я расскажу, каким изящнейшим путем доказывается теорема несуществования для некоторого уравнения третьей степени (не связанного напрямую с теоремой Ферма), но сначала про пятую степень:

х⁵ + у⁵ = z⁵.

Неразрешимость уравнения пятой степени в целых числах была доказана в XIX веке. Потом стали увеличивать показатели и доказывать про седьмую, одиннадцатую, тринадцатую степени. Дошли примерно до сотни. Особо отличились женщина-математик Софи Жермен, а также Куммер, потративший на теорему Ферма добрую половину своей весьма долгой жизни (1810–1893).

При решении уравнения Ферма выделяют два разных случая: регулярный и специальный (нерегулярный).

Регулярный случай: ни одно из чисел x, y, z не делится на p. Специальный случай: одна из переменных делится на p, а две другие — нет. (Если две переменные делятся на p, то и третья переменная обязательно делится на p. Например, если x и y делятся на p, то в левой части p выносится за скобку, и z тоже будет делиться на p. Тогда можно сократить обе части уравнения на максимальную степень числа p и получить какой-нибудь из двух описанных случаев.)

Софи Жермен далеко продвинулась в регулярном случае. Она доказала, что уравнение регулярного типа х^р + у^р= z^p не имеет решения для всех таких простых p (нечетных, то есть всех, кроме p = 2), что 2р + 1 — тоже простое.

Весь XIX век длилась борьба за разные простые показатели, и методология доказательств была типовая. Выражения раскладывали на множители типа

х³ + у³ = (х + у)(x² − xу + у²).

Если вы не помните эту формулу из школы, можете ее проверить, раскрыв скобки. Дальше незадача: (x² − ху + у²) на множители не раскладывается — по той же причине, по которой не раскладывается x² + у². А как было бы хорошо разложить его и в одну строчку получить решение! Но это возможно только с комплексными числами, а с действительными, привычными нам — это невозможно. Все дороги, которые ведут в настоящую математику — идут через комплексные числа. Это сложно, но интересно и красиво. К комплексным числам мы вернемся в конце этой лекции.

Сейчас я хочу доказать математически, что два вышеупомянутых выражения x² + у² и x² − ху + у² не могут быть разложены на множители. Для этого я использую сложный, но наглядный путь через введение в алгебраическую геометрию.

Докажем неразложимость х² + у². Допустим, что его можно разложить на множители (где α, β, γ и δ вещественные числа):

х² + у² = (αх + βу)(γx + δy).

Рассмотрим, какие множества на плоскости задают правая и левая части уравнения:

х² + у² = 0 и (αх + βу)(γx + δy) = 0.

После работ Декарта мы знаем, что х и у можно считать координатами на плоскости. Уравнение х² + у² = 0 задает нам только одну точку (0, 0). Почему? Потому, что квадраты не могут быть отрицательными. Если одна из переменных положительна, например х, то выражение х² больше нуля, но квадрат второй переменной — не меньше нуля, следовательно, сумма будет больше нуля. Не получается. Если сумма равна нулю, значит х и у оба равны нулю.

Рассмотрим второе уравнение:

(αх + βу)(γx + δy) = 0.

Оно задает нам две прямые. Иногда они могут совпадать.

Рис. 136. Для левого уравнения получается всего одна точка, для правого — или две прямых, или одна.

Получается, что с одной стороны у нас две прямые (в случае их совпадения одна), а с другой стороны точка (см. рис. 136).

Если бы х² + у² раскладывалось на множители, то второе уравнение должно было бы определять то же множество на плоскости, что и первое. Но так как эти множества не совпадают, то сумму квадратов нельзя разложить на множители.