Математика для гуманитариев. Живые лекции

А теперь начинается ключевой момент доказательства, не очень сложный, но крайне важный, так как он работает при решении многих диофантовых уравнений.

Раз x — четное число, то x = 2k при целом k. B этом случае уравнение будет иметь вид 4k² + y² = z².

Перекинем y² направо: 4k² = z² − y², то есть

Так как z и y — нечетные числа, то их разность и сумма — четные числа. Поэтому (z − y)/2 и (z + y)/2 — целые числа.

Получилось, что k² равно произведению некоторых двух целых чисел.

А теперь смотрите, мы договорились, что достаточно искать такие тройки, в которых ни у какой пары чисел нет общих делителей. Поэтому у и z не имеют общих множителей, y = p₁p₂p₃ ... p_a, z = q₁q₂q₃ ... q_b, и эти наборы простых чисел разные. Как говорят математики, в этом случае у и z взаимно просты. Сами они при этом совершенно не обязательно простые. Например, 15 = 3 · 5 и 22 = 2 · 11, следовательно, 15 и 22 — взаимно простые числа, хотя ни одно из них не является простым.

Теперь я утверждаю, что (z − y)/2 и (z + y)/2 также взаимно простые, то есть не имеют ни одного общего множителя. Почему? Предположим, что у них есть общий делитель. Например, они делятся на 3. Тогда, их сумма и разность тоже делятся на 3. Но

Получается , то есть у, z оба делятся на 3. Мы пришли к противоречию. Значит, (z − y)/2 и (z + y)/2 тоже не имеют общих делителей.

 Вернемся к нашему выражению

Числа справа состоят из разных простых делителей. В каждое из чисел простые множители могут входить хоть поодиночке, хоть в степенях, но пересечений между разложениями (z − y)/2 и (z + y)/2 нет. Например,

(Вместо 5 и 7 здесь могут быть любые степени.)

С другой стороны, k² = q₁²q₂² ... q_f², поэтому

Согласно основной теореме арифметики, существует единственное разложение натурального числа на простые множители с точностью до порядка сомножителей. Значит, по обе стороны от знака равенства стоят наборы одинаковых простых чисел. В частности, q₁² равен произведению двух чисел из правой части.

Так как пересечений простых множителей в наборах  p₁,..., p_k и w₁,..., w_m нет, то этот квадрат целиком «сидит» в одном из наборов. Но то же самое можно сказать и про все прочие квадраты!

Поэтому все простые числа набора p_i входят в разложение числа (z − y)/2 в четных степенях, и то же самое верно для набора w_j. Следовательно, числа (z − y)/2 и (z + y)/2 являются квадратами[34].

Это очень сильное утверждение (потому что квадратов очень мало среди натуральных чисел). 1, 4, 16, 25, 36, 49… — они встречаются все реже.

Введем новые обозначения. Так как наши выражения — квадраты, то обозначим:

Тогда

Вспомним, чему равен x: x = 2k.

Видно, что k = mn, следовательно, x = 2mn.

Итак, мы доказали, что если x, y, z являются целыми сторонами прямоугольного треугольника (минимального в серии подобных пифагоровых треугольников), то существует пара целых чисел n и m с таким свойством, что x равен удвоенному произведению этих чисел, у — разности квадратов этих чисел, а z — сумме квадратов этих чисел. Это — обязательное условие:

x = 2mn,

y = m² − n²,

z = m² + n².

Остается вопрос: можно ли брать m и n произвольным образом?

Во-первых, чтобы «у» было положительным числом, нужно чтобы выполнялось неравенство m > n («у» — сторона треугольника, она не может быть отрицательным числом). Во-вторых, m и n, должны быть взаимно простыми числами разной четности, чтобы x, у, z получились взаимно простыми.

Давайте проверим, останется ли верна наша формула для целых решений уравнения x² + y² = z² при любых целых m, n:

 x² + y² = 4m²n² + m⁴ − 2m²n² + n⁴ = m⁴ + 2m²n² + n⁴ = (m² + n²)² = z².

Мы видим, что наша формула всегда дает «пифагоровы» тройки, но не обязательно положительные и взаимно простые.

Общая формула содержит два произвольных параметра. Для наглядности построим сетку (рис. 137).

Рис. 137. Здесь спрятались все пифагоровы тройки!

В сетке — выберем точку с координатами (0; 0) и оси: m — вправо, n — вверх. Будем брать точки с координатами (m; n) и подставлять их в нашу формулу. Например, возьмем точку (2; 1).

х = 2mn = 2 · 2 · 1 = 4,

у = m² − n² = 2² − 1² = 3,

z = m² + n² = 2² + 1² = 5.

Давайте возьмем что-нибудь более сложное. Напомню, что для получения минимальных пифагоровых троек нам подходят только m > n > 0 с разной четностью.

Возьмем, например, (5; 2). Получим х = 20, у = 21, z = 29.

При подстановке мы увидим, что у нас появляются разные виды треугольников. Узкие вытянутые треугольники, у которых катет и гипотенуза отличаются на единицу: 12, 5, 13. Треугольники, у которых катеты почти равны друг другу: 20, 21, 29 (рис. 138).

Рис. 138. Такие разные пифагоровы треугольники.