Математика для гуманитариев. Живые лекции

В каждой целочисленной точке плоскости будет возникать вариант пифагорова треугольника. Возьмем точку (10; 3) и посмотрим, какой треугольник получится:

x = 60, у = 91, z = 109.

Задача решена методом Диофанта. Мы получили описание всех пифагоровых треугольников.

Второе решение задачи о пифагоровых треугольники.

Алгебраическая геометрия — часть 2.

Есть уравнение, которое нужно решить в целых числах, понимая, что по абсолютной величине с больше а, и с больше b:

a² + b² = c².

Разделим это выражение на c² и введем новые обозначения x = a/c, y = b/c:

(a/c)² + (b/c)² = 1.

Обе скобки — числа рациональные, т.е. дроби.

Какая фигура на плоскости описывается уравнением: x2 + y2 = 1? Окружность единичного радиуса.

А теперь — чудо. Задача, которую мы решаем — найти на этой окружности все рациональные точки (т.е. точки, у которых обе координаты являются дробями). Вот как звучит наша задача при втором подходе к решению!

Какую точку на окружности даст нам треугольник 3, 4, 5? Точку (3/5; 4/5). Стороны 20, 21, 29 породят точку (20/29; 21/29). Для любой точки, которая попадает на окружность, сумма квадратов координат должна быть равна единице. Но не любая из этих точек рациональна.

Нужно найти все такие точки. Возьмем одну очевидную рациональную точку с координатами (0, −1).

Слушатель: А почему не (0; 1) или какую-то другую?

А.С: В принципе, можно выбрать какую угодно точку окружности. Я выбрал такую точку, при которой формулы будут выглядеть проще всего.

Давайте предположим, что есть еще одна рациональная точка (х, у). Тогда прямая, которая проходит через эти две точки, имеет уравнение с рациональными коэффициентами (см. рис. 139). Докажем это.

Рис. 139. Прямая, проходящая через точку (0, −1) и еще одну рациональную точку, обладает рациональным коэффициентом наклона.

Давайте посмотрим, как выглядит уравнение прямой, проходящей через точку (0, −1) в общем случае. Вспомним, что у = kx+b — уравнение прямой «с угловым коэффициентом и свободным членом».

Если она проходит через точку (0, −1), то при подстановке х = 0, у = −1 в наше уравнение мы должны получить верное равенство. Подставим: −1 = 0k + b, откуда b = −1, то есть наше уравнение имеет вид у = kx − 1.

Мы получили общий вид прямой, проходящий через точку (0; −1). При разных k мы будем получать прямые с разным наклоном (рис. 140).

Рис. 140. Обратите внимание на вспомогательный прямоугольный треугольник справа с вершиной в точке (0, −1).

Если точка (x, у) рациональна, то k — тоже рациональное число (k — это тангенс угла наклона прямой, в нашем случае он равен отношению противолежащего катета к прилежащему в полученном треугольнике). См. рис. 140, катеты вспомогательного треугольника.

Вертикальный катет равен y + 1. Горизонтальный равен x. Для точки (3/5, 4/5) эти числа равны 9/5 и 3/5. Получается отношение катетов k = 9/5 : 3/5 = 3. Наша прямая имеет вид: y = 3x − 1.

Итак, на этом примере продемонстрировано, что если какая-то точка имеет рациональные координаты, то угол наклона прямой, проходящей через нее и через точку (0, −1), будет рациональным числом. Это следует из того, что оба катета выражаются в этом случае рациональными числами, а отношение двух рациональных чисел является рациональным числом. Говорят, что рациональные числа «образуют поле», так как сумма, разность, произведение и частное дробей являются дробью.

Итак, если точка рациональная, то и наклон прямой, проходящей через нее и через точку (0; −1) будет рациональным числом. Теперь мы докажем и обратное: если в формулу у = kх − 1 вместо k подставить любое рациональное число, то мы всегда получим в пересечении с окружностью две точки: (0; −1) и какую-то другую рациональную точку.

Как найти точку пересечения прямой у = kх − 1 с окружностью х² + у² = 1?

Нужно решить систему уравнений

Подставим значение у из первого уравнения во второе

х² + (kх − 1)² = 1

и раскрываем скобки

х² + k²х² − 2kх + 1 = 1.

Упрощаем:

х² + k²х² = 2kх.

Можно сократить на x, так как случай х = 0 нам не интересен — он даст уже знакомую точку (0, −1):

х + k²х = 2k.

Выразим теперь х и у через k:

x(1 + k²) = 2k; х = 2k/(1 + k²),

Из этих формул видно, что если k — рациональное число, то у и х — тоже рациональные. Рациональные числа — это числа, с которыми можно производить действия арифметической природы — плюс, минус, разделить, умножить. Рациональные числа от этого остаются рациональными (то есть эти действия не выводят нас за пределы множества рациональных чисел).

Что значит «k — рациональное число»? Это значит, что k = m/n. Подставим вместо k дробь m/n, считая, что m, n — положительны, причем m > n, а дробь m/n несократима: