Математика для гуманитариев. Живые лекции

Про теорию вероятностей можно говорить очень долго. Это отдельная, очень большая, интересная наука и для школьной программы, и для людей, занимающихся другими науками. В теории вероятностей есть свои проблемы. Например, данные про большой город типа Москвы входят в очень резкий контраст с базовыми предположениями теории вероятностей. Рассмотрим состояние пробок на дорогах. Оно складывается из миллиона случайных решений отдельных людей. Каждый, у кого есть машина, решает, поехать ли на машине или на общественном транспорте, то есть примерно миллион человек одновременно решают задачу, на чем им ехать. И типовое предположение теории вероятностей о том, что выборы людей независимы друг от друга, предсказывает абсолютно одинаковые пробки при одинаковых метеорологических условиях. Если наша теория верна, если решения независимые, то должны быть идентичные дорожные ситуации при одинаковых условиях. Аварии учесть трудно. Но одна, две мелких аварии не сильно влияют на трафик. Математики очень мало знают про транспорт. Но самое главное — есть стойкое ощущение, что эта модель неверна. Люди друг с другом каким-то образом связаны. Они реагируют на фазы Луны, пятна на Солнце или на что-то еще и принимают одинаковые решения. (Например, если их просят назвать известного русского поэта, все как один говорят: Пушкин.) Это — единственное объяснение, почему при абсолютно идентичных условиях бывают диаметрально противоположные по структуре пробки. Сегодня город едет, а завтра — стоит.

Надо признать, что нам не всё известно. Я, на самом деле, считаю, что про социальные науки (социологию, политологию, экономику) нам вообще почти ничего неизвестно. Математики врут, когда говорят, что они разобрались в том, как функционирует социум. Модели примитивные, никогда ничего не предсказывают. Иногда объясняют то, что было вчера.

С географией дела обстоят лучше. Расселение меняется медленно. Редко бывает так: с утра не с той ноги встал и с досады оказался не в Москве, а в Иркутске[36]. Эталоном науки должна быть физика — наука о неживой природе. Она разработана до такой степени, которая никаким инопланетянам, наверное, не снилась. И если с физикой сравнивать науки о социуме, то математический блок социальных наук практически не развит. Поэтому всяким «гуру», которые появляются на «Полит.ру», в «Ведомостях» или прочих изданиях, вообще верить нельзя (в том числе и мне самому!). Они делают прогнозы, а через неделю уже всё по-другому. Я вижу, о каких моделях они говорят, и понимаю, что там обман в каждом слове. А в математике, в лингвистике, в других не социальных науках нет места подвоху.

* * *

Вернемся к комплексным числам. Я хотел рассказать о том, как чудесным образом с помощью комплексных чисел решаются некоторые уравнения. На прошлой лекции мы решили, что хотим иметь такое невещественное число i, что i² = −1. И каждой точке плоскости сопоставили некоторое комплексное число: (x, у) → x + уi. Оказывается, эти числа подчиняются привычным математическим действиям: плюс, минус, умножить, разделить. Математики довольно большую часть времени живут в системах, которые называются полями. Поле — это такое обобщение обычных чисел. Это такие системы «чисел», в которых можно совершать операции плюс, минус, умножить и разделить по нормальным обычным правилам. То есть вы пишете какое-то алгебраическое выражение, раскрываете скобки, делите, сокращаете. Всё, что можно сделать с обычными действительными числами, можно сделать и с элементами любого поля. А поля бывают очень разные и иногда совершенно неожиданно выглядят[37].

Мы хотим, чтобы множество комплексных чисел стало полем, то есть чтобы в нём можно было делать всё, что мы привыкли делать с действительными числами, в частности, умножать и делить. И об этом мы сейчас поговорим.

Было доказано, что х + уi = z + ti только в том случае, если имеют место равенства х = z и у = t.

То есть если это просто одна и та же точка на плоскости. А разные точки дают разные комплексные числа, поэтому комплексные числа занимают как минимум всю плоскость. А из стремления к минимализму мы постараемся ограничиться только точками плоскости. Давайте учиться складывать, вычитать, умножать и делить точки плоскости.

Чему будет равна сумма (x + уi) + (z + ti)?

Мы должны получить какое-то комплексное число. Значит, у нас будет часть с i и часть без i. Если отложить часть «без i» по оси абсцисс, а часть «с i» — по оси ординат, то у нас получится какая-то точка на плоскости. Часто комплексное число отождествляют с вектором (т. е. стрелочкой), ведущим из начала координат в эту точку. Из правила сложения векторов получается, что (x + уi) + (z + ti) = (x + z) + i(у + t).

Давайте посмотрим, почему так получается (рис. 145).

Рис. 145. Сложение комплексных чисел.