Математика для гуманитариев. Живые лекции

Иными словами, умножение на число cos φ + i sin φ, примененное ко всем точкам плоскости, является движением плоскости.

Давайте попробуем понять, что же это за движение.

Для простоты изложения по ходу дела точки плоскости я буду называть комплексными числами, а комплексные числа точками плоскости. Это позволит стереть некоторый налет «мнимости», остающийся в выражении комплексные числа.

Пусть q₁ = х + yi, q₂ = z + ti два комплексных числа, второе из которых не равно ни нулю, ни единице, но при этом лежит на единичной окружности (то есть имеет модуль, или длину, равную единице). Второе число, q₂, мы на время всего рассуждения зафиксируем, а первое число, q₁, будем «перебирать», подставляя всевозможные комплексные значения.

С помощью формулы q₁q₂ мы сконструировали некоторое преобразование точек плоскости: любая точка q₁ при этом преобразовании переходит в точку q₁q₂. Ключевое утверждение состоит в том, что у этого преобразования будет только одна неподвижная точка: q₁ = 0 (то есть только одна точка останется на месте).

Проведем доказательство этого утверждения. Допустим, какая-то точка q₁ осталась на месте. Это означает, что q₁ = q₁q₂. Перенесем оба выражения в левую часть, получим:

q₁(1 − q₂) = 0.

Мы договорились, что q₂ ≠ 1, а тогда 1 − q₂ ≠ 0, и на этот множитель можно сократить обе части равенства. Следовательно, q₁ = 0, что и утверждалось. Таким образом, наше преобразование плоскости является движением (что было установлено выше) и оставляет на месте ровно одну точку, а именно точку q₁ = 0.

Один из примеров движения плоскости ровно с одной неподвижной точкой хорошо известен: это — поворот на некоторый угол относительно неподвижной точки. Но, может быть, одними поворотами дело не ограничивается? Этот вопрос исследовал французский математик М. Шаль. Оказалось, что ничего, кроме поворотов, в этой ситуации быть не может. Принимая его исследования на веру,[38] делаем вывод, что изучаемое преобразование является поворотом.

Итак, это движение — поворот. Остается вопрос, на какой угол мы повернули? Для ответа на этот вопрос вспомним, что число q2 лежит на окружности, то есть равно cos φ + i sin φ при некотором значении угла φ.

Я утверждаю, что наше движение является поворотом именно на угол φ. Потому что точка q₁ = 1 перешла в точку q₁q₂ = cos φ + i sin φ. А раз единица в нее перешла, значит, мы повернули плоскость на угол φ. Ведь комплексное число q₁ = 1 + 0_i имело в начальный момент нулевой угол поворота.

Таким образом, любая точка переходит в точку, которая получается поворотом на угол φ соответствовавшего исходной точке вектора.

В частности, если я беру некоторый вектор и умножаю его на вектор cos φ + i sin φ, то он переходит в вектор, повернутый на угол φ. Особый важный случай — это умножение на вектор cos π/2 + i sin π/2, то есть просто на число i. Умножение вектора на i приводит к тому, что этот вектор поворачивается на 90°. Это особенно важно для тех технических вузов, где изучают ТОЭ (теоретические основы электротехники). Злые языки даже утверждают, что перед основным экзаменом по ТОЭ там производится предэкзамен: у студента, заснувшего на лекции, над ухом стреляют хлопушкой и грозно спрашивают: УМНОЖЕНИЕ на i? Он должен сразу ответить: ПОВОРОТ НА 90 ГРАДУСОВ! (рис. 152).

Рис. 152. Умножение на i это поворот на 90°.

И окончательно. При умножении комплексных чисел углы складываются. Это правило, которое мы вывели, позволяет нам увидеть все арифметические операции над комплексными числами. А именно, при сложении комплексных чисел складываем их как вектора — по правилу параллелограмма. При умножении — длины векторов перемножаются, а углы поворотов складываются. Слегка почесав в затылке, можно даже сказать так: при делении комплексных чисел их длины делятся, а углы поворота вычитаются друг из друга.

Сейчас будет бонус. Наконец-то мы запомним две зловредные формулы.

Давайте возьмем еще одну точку, лежащую на единичной окружности: cos ψ + i sin ψ. Куда она перейдет при умножении на cos φ + i sin φ?

Она перейдет в точку той же окружности, но повернется на угол φ. То есть суммарный угол для произведения будет (ψ + φ).

Получается, что произведение

(cos φ + i sin φ) (cos ψ + i sin ψ)

равно cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ).

Теперь раскроем скобки:

(cos φ + i sin φ) (cos φ + i sin φ) = cos φ cos ψ + cos φi sin ψ + i sin φ cos ψ + i sin φi sin φ = (cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + i(cos φ sin ψ + sin φ cos ψ).

С другой стороны, это произведение равно cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ). Получается, что

cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ) = (cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + i(cos φ sin ψ + sin φ cos ψ).

Но если два комплексных числа равны друг другу, то вещественная часть равна вещественной, а мнимая — мнимой:

cos(φ + ψ) = cos φ cos ψ − sin φ sin ψ,

sin(φ + ψ) = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ.