Математика для гуманитариев. Живые лекции

Хотелось бы уметь делить одну точку на плоскости на другую точку. Это тоже совсем не сложно, если, конечно, не делить на ноль. Но на ноль мы и раньше не могли делить. Так что ничего удивительного в том, что мы не будем делить на 0, нет. Значит, так. Попробуем разделить на число, которое не равно нулю. Используем основное свойство дроби: дробь не изменится, если и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число. В качестве такого числа мы возьмем число, сопряженное к z + ti:

Итак, мы получили комплексное число в стандартном виде: вещественная  и мнимая  части.

Всё. Теперь мы умеем делить, умножать, складывать и вычитать — всё как с обычными действительными числами. Однако мы пока не видим, как геометрически это выглядит, а это очень важно и чрезвычайно полезно.

Давайте все-таки это поймем. Для этого перемножим

(х + yi)(z + ti)(x − yi)(z − ti).

Если я буду перемножать почленно, то получится

(x+yi)(z+ti)(x−yi)(z−ti) = [(xz−yt)+(xt+yz)i][(xz−yt)−(xt+yz)i].

Обратите внимание, получились сопряженные комплексные числа — значит, их произведение равно

(х + yi)(z + ti)(x − yi)(z − ti) = [(xz − yt) + (xt + yz)i][(xz − yt) − (xt + yz)i]) = (xz − yt)² + (xt + yz)².

А если я вспомню, что от перемены мест множителей произведение не меняется, и переставлю скобки, то получу

[(x + уi)(х − yi)][(z − ti))(z + ti)] = (х² + y²)(z² + i²).

Но мы же умножали одно и то же, значит, результаты совпадают:

(x² + y²)(z² + t²) = (xz − yt)² + (xt + yz)².

Это таинственное правило иногда изучается в школе как одно из правил сокращенного умножения. Но смысл его скрывается. Можно честно раскрыть все скобки и получить верное равенство. Совершенно честно, без всяких комплексных чисел. Но если вы сделаете это без комплексных чисел, то природа явления будет не видна и непонятна. А с помощью комплексных чисел мы говорим, что (xz − yt)² + (xt + yz)² — квадрат длины вектора, который является произведением исходных векторов (х, у) и (z, t). А (х² + у²) и (z² + t²) квадраты длин самих исходных векторов. Если я извлеку корень из этих длин, то получится, что

длина вектора произведения равна произведению длин исходных векторов

Мы узнали, что при перемножении комплексных чисел их длины перемножаются. Осталось выяснить, куда будет направлен вектор произведения. Вопрос, что же происходит с углами поворота каждого из сомножителей?

Сейчас я могу только сказать, что мое произведение лежит где-то на окружности радиуса, равного произведению длин наших векторов. Но где именно? Сейчас мы рассмотрим преобразование плоскости. Давайте нанесем на наши оси координат единичную окружность. На этой окружности «живут» точки 1, −1, i и −i (рис. 149).

Рис. 149. Единичная окружность на комплексной плоскости.

Как записать координаты точки на окружности? Какое комплексное число живет в точке единичной окружности, если вектор повернут на угол φ (см. рис. 150)?

Рис. 150. Нижний катет равен cos φ, правый равен sin φ.

Точка данной окружности определяется углом, на который повернулся вектор единичной длины. Косинус — это координата по оси x, синус — по оси у. В учебниках пишут, что косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Но здесь гипотенуза имеет длину 1. Поэтому косинус равен просто горизонтальному катету. А синус — это отношение другого катета к гипотенузе. Гипотенуза имеет длину 1, и синус — это просто второй катет.

А теперь я совершу обещанное преобразование: умножу все точки плоскости на комплексное число cos φ + i sin φ.

Напомню, что при умножении комплексных чисел длина получаемого вектора равна произведению длин перемножаемых

Подставим слева в формулу cos р и sin р вместо z и t

Ho cos² φ + sin² φ = 1 (основное тригонометрическое тождество, следствие теоремы Пифагора). Получаем

Мы домножаем на единицу, а значит, длина вектора не изменяется.

Получается, что при умножении на число cos φ + i sin φ любое комплексное число остается на той же окружности, на которой оно лежало.

Комплексное число «жило», например, в точке А, на расстоянии  от точки (0, 0); после преобразования оно будет «жить» на той же самой окружности в какой-то другой точке В, но на том же расстоянии от (0, 0) (см. рис. 151).

Похожим образом показывается, что для любых двух точек плоскости умножение на cos φ + i sin φ не изменит расстояния между ними.

Рис. 151. В = A · (cos φ + i sin φ)