Математика для гуманитариев. Живые лекции

Точки (х, у) и (z, t) задают нам два вектора на плоскости, выходящие из начала координат. Если сложить два вектора, получится вектор с координатами (х + z, y + t).

В школе это называют правилом параллелограмма.

Сумма двух точек плоскости строится так. Берем векторы, порождаемые нашими точками, и складываем их по правилу параллелограмма.

Вычитание от сложения практически не отличается:

(х + yi) − (z + ti) = (х + yi) + (−z − ti) = (x − z) + i(y − t).

Вектор, порождаемый точкой (z, t), развернется в другую сторону туда, где достроен смежный параллелограмм (рис. 146).

Итак, операции плюс и минус определены и всегда осуществимы. Также видно, что у каждого числа есть противоположное к нему: (х + yi) и (−х − yi). С точки зрения сложения и вычитания система уже построена и ведет себя очевидным образом. Теперь переходим к гораздо более интересной теме. А именно: умножение и деление комплексных чисел.

Рис. 146. Вычитание комплексных чисел.

Я хочу узнать, как должно выглядеть умножение

(x + yi)(z + ti).

Будем пользоваться распределительным законом, который математики называют дистрибутивным. Проще говоря, разрешается раскрывать скобки: а(b + с) = аb + ас (как учили в школе).

А также (a + b)(с + d) = ас + bс + ad + bd.

Правило дистрибутивности вынуждает нас так умножать. Потому что так делается в вещественных числах. Давайте попробуем перемножить два комплексных числа

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti².

Теперь давайте вспомним, что i² = −1,

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti² = xz + xti + zyi − yt = (xz − yt) + (xt + yz)i.

Мы научились умножать. Произведением точек с координатами (х, у), (z, t) служит точка на плоскости с координатами (xz − yt, xt + yz).

Но этого для нас мало, потому что мы не видим, где «живет» на плоскости точка с такими координатами. Мы должны увидеть ее, понять, как ее построить. Как получить ее из векторов, порождаемых точками (x, у), (z, t). Какие у этих векторов характеристики? У них есть длины и углы поворота (отклонения) от оси х. Пользуясь этими данными, мы должны получить новый вектор (xz − yt, xt + yz).

Нам нужно провести некоторое исследование. Для этого разработаем терминологию.

У комплексного числа точки на плоскости первая координата называется вещественной частью, а вторая мнимой. Мнимой ее называют потому, что, когда начинали с комплексными числами общаться, считали, что числа i не существует. Существуют только вещественные числа. Остальные не существуют, они как бы у нас в воображении, imaginary numbers. С тех пор у комплексных чисел есть действительная и мнимая части.

Рассмотрим еще такую конструкцию. Для каждого вектора рисуется вектор, симметричный относительно вещественной оси. Точка (х; у) перейдет в точку (х, −у) (см. рис. 147).

Рис. 147. Векторы, симметричные относительно оси абсцисс.

Числу х + уi естественным образом сопоставляется число x − yi, которое лежит по другую сторону от вещественной оси.

Числа вида (х + уi) и (x − yi) называются сопряженными. Чему равно произведение этих чисел?

(х + yi)(x − yi) = х² + у².

Что такое х² + у² в геометрическом смысле? Это длина вектора, обозначающего наше комплексное число, возведенная в квадрат. Квадрат длины комплексного числа, рассматриваемого как вектор, равен произведению его самого и ему сопряженного.

И еще одна выкладка. Интересно, что получится, если я перемножу векторы, сопряженные к нашим исходным векторам:

(х − yi)(z − ti) = (xz − yt) − (xt + yz)i.

Вещественная часть не изменилась, а мнимая поменяла знак. Было (xz − yt, xt + yz), стало (xz − yt, −xt − yz). Получается, что если мы берем произведение двух сопряженных, то получается сопряженное к их произведению (рис. 148).

Рис. 148. Математики сказали бы так: умножение комплексных чисел «уважает» операцию сопряжения, и наоборот. Можно вначале сделать сопряжение каждого сомножителя, а потом перемножить их, а можно вначале перемножить, а после сделать сопряжение перемноженных. Результат будет одинаковым.