Население Земли как растущая иерархическая сеть

И сходится эта последовательность к некоторой точке на оси времени – точке сингулярности гиперболы роста. Поскольку численность популяции при этом за конечное время неограниченно возрастает, потенциальная бесконечность идеального экспоненциального роста трансформируется здесь в актуальную бесконечность идеального гиперболического роста. Потенциальная возможность неограниченного возрастания численности идеального экспоненциального роста качественным образом отличается от актуальной бесконечности, которой достигает численность в точке сингулярности идеального гиперболичесого роста.

При первом чтении приводимые далее примеры можно пропустить.

* * *

Для более ясного представления о том, что такое причинный закон рассмотрим несколько примеров экспоненциального роста:

• Размножение микроорганизмов в чашке Петри с питательной средой;

• Рост числа разделившихся ядер в цепной ядерной реакции;

• Экспоненциальный рост популяции животных с полигамной ориентацией;

• Экспоненциальный рост популяции моногамных животных.

Во всех случаях прирост численности «частиц» пропорционален их общему числу N, но причинно-следственная цепь событий, создающая в каждой системе этот прирост ΔN за малый промежуток времени Δt, в каждом из четырех приведенных примеров будет своя.

Так, каждый из разделившихся микроорганизмов ничем не отличается от материнского и продолжает участвовать в процессе размножения точно в таком же качестве. Чего не скажешь про осколки разделившегося ядра в цепной ядерной реакции, которые никакого участия в дальнейшем размножении распавшихся ядер уже не принимают.

В случае полигамии любая пара противоположного пола может дать потомство, в то время как в популяции моногамных животных пары устойчивы и не имеют других партнеров.

Несмотря на различную природу роста численности таких популяций, сама схема роста во всех случаях одинакова: … → N → события определяющие прирост → прирост ΔN за Δt → N + ΔN →… Здесь прирост ΔN за малый промежуток времени Δt складывается с текущей численностью N, образуя при этом элементарное звено причинно-следственной цепи.

События, включенные в это звено, в каждом случае свои, но объединяет их одинаковый, экспоненциальный механизм роста. Закон экспоненциального роста для всех приведенных примеров может считаться причинным законом, т. к. существуют эндогенные события-причины, т. е. события, вызванные внутренними системными факторами, приводящими к приросту ΔN.

Эти события зависят только от численности «частиц» N: ΔN ~ N и не выходят за пределы промежутка времени t – t + Δt, где Δt – это достаточно малый шаг итерации, достаточно малый в том смысле, что при работе рекуррентного алгоритма в пределе возможен переход к уравнению причинного закона: dN/dt = αN.

При этом события-причины, составляющие элементарное звено причинно-следственной цепи, сами образуют причинно-следственную цепь элементарных событий с простой, непосредственной преддетерминацией, каждое предшествующее событие в которой является причиной последующего.

Вернемся к рассмотренному ранее примеру об экспоненциальном и гиперболическом росте колонии микроорганизмов, идущем в соответствии с причинными законами (1) и (2).

Рис. 3. Экспоненциальный и гиперболический рост численности популяции.

Считаем, что показатель смертности в обоих случаях равен нулю. Рассмотрим сначала экспоненциальный рост по закону (2). В простейшем случае, когда каждый новорожденный организм спустя некоторое время τ = 1/α = const делится на два идентичных, шаг итераций должен быть выбран гораздо меньше этого τ – времени, характеризующего рост: Δt << τ.

Т. к. показатель смертности равен нулю, то τ = 1/α – это время, необходимому микроорганизму, чтобы создать свою копию. Шаг итераций Δt не может быть соизмерим и тем более быть большим τ, т. к. за это характерное время численность N возрастает в 2,7 раза, а приращение ΔN при малом Δt также должно быть мало.