Основания девятнадцатого столетия

В учебниках они получили определение «воображаемые ве­личины». Правильнее было бы, очевидно, сказать: не только воображаемые, но встречающиеся повсюду, человек не в со­стоянии их представить. С помощью этого гениального изо­бретения готов и ломбардов северной Италии³³⁴ счет приобрел неизвестную до этого эластичность: абсолютно немыслимое теперь служило для определения конкретных фактов, к кото­рым иначе никак нельзя было подступиться. Затем последовал еще шаг: где одна величина «бесконечно» приближается к дру­гой, но однако не достигает ее, был самовольно переброшен мост, и по этому мосту стало возможно перейти из области не­возможного в область возможного. Так, например, неразреши­мая проблема круга была решена тем, что его вместили в многоугольник с «бесконечно» многими, следовательно, «бесконечно» маленькими сторонами. Уже Паскаль говорил о ве­личинах, «меньше данной величины» и назвал их quantites negligeables.³³⁵ Ньютон и Лейбниц пошли намного дальше, приведя в систему счет с помощью этих бесконечных рядов на­званное выше «исчисление бесконечно малых». Достигнутое при этом просто трудно измерить. Лишь теперь математика ос­вободилась от неподвижности к жизни, потому что лишь те­перь она была в состоянии точно анализировать не только покоящийся образ, но и движение. Кроме того, иррациональ­ные числа были в определенной степени удалены, потому что мы при необходимости можем их обойти. Не только это, но и понятие, которое раньше существовало только в философии, отныне принадлежало математике и было эликсиром, сильно укрепившем ее: понятие бесконечности. Как возможно, что две величины «бесконечно» приближаются друг к другу, так и воз­можно, что одна «бесконечно» увеличивается или же «беско­нечно» уменьшается, в то время как другая не изменяется: бесконечно большая величина³³⁶ и исчезающая малая величи­на — две безусловно непредставимые вещи — стали теперь гибкой составной частью наших расчетов: мы не можем их представить, но мы можем ими пользоваться и при этом полу­чаем конкретные, великолепные практические результаты. Наше знание природы, наша способность только приблизиться ко многим ее проблемам опирается по большей части на этом смелом действии. «Никакая другая идея, — говорит Карно, — не дала нам в руки такого простого и эффективного средства для знакомства с законами природы».³³⁷

Древние говорили: поп entis nulla sunt praedicata — «о ве­щах, которых нет, нельзя ничего сказать». Но чего нет в нашей голове, вполне может существовать вне нашей головы, и на­оборот, вещи, которые несомненно существуют только внутри головы человека и которые мы сами признаём явно «невозмож­ными», могут превосходно служить нам в качестве инструмен­тов для достижения обходным путем познания, которое недоступно нам непосредственно.

Характер настоящей книги не позволяет мне продолжать этот математический экскурс, но я был рад найти в разделе о науке возможность в самом начале упомянуть этот главный ор­ган любых систематических знаний: мы видели, что Леонардо назвал причиной жизни движение, затем последовал Декарт, который считал движением саму материю — повсюду на пер­вом месте механическое объяснение эмпирических фактов, о чем говорилось в предыдущем разделе. Но механика — это океан, переплыть который можно только на корабле математи­ки. Только пока науку можно объяснить основными правилами математики, она кажется нам точной, потому что она только тогда является строго механической и вследствие этого «судо­ходной». «Nissuna humana investigatione si po dimandare vera scientia snessa non passa per le matematiche dimostrationi», — говорил Леонардо да Винчи,³³⁸ и голосу итальянского учено­го начала XVI века вторит эхо немецких мудрецов начала XIX века: «Я утверждаю, что в любом учении о природе можно встретить лишь столько собственно науки, сколько в нем мате­матики».³³⁹