Tertium organum

В геометрии на поверхности с неправильной кривизной верна только первая аксиома, вторая — о переносе фигур, уже невозможна, так как фигура, взятая в одном месте неправильной поверхности, может измениться при переносе на другое место. И сумма углов треугольника может быть и больше, и меньше двух прямых.

Таким образом, аксиомы выражают различие свойств различного рода поверхностей. Геометрическая аксиома есть закон данной поверхности.

Но что такое поверхность?

Заслуга Лобачевского в том, что он находил необходимым пересмотреть основные понятия геометрии. Но он никогда не шел так далеко, чтобы переоценить эти понятия с точки зрения Канта. В то же время он ни в каком случае не возражал против Канта. Поверхность в уме Лобачевского как геометра, была только средством обобщения некоторых свойств, в которых строилась та или другая геометрическая система, или обобщением свойств данных линий. О реальности или нереальности поверхности он, вероятно, совсем не думал.

Таким образом, с одной стороны, совершенно не прав Бонола, который приписывает Лобачевскому воззрения, противоположные кантовским, и близость к "сенсуализму" и "обычному эмпиризму", — а с другой стороны, можно думать, что Хинтон совершенно субъективно приписывает Гауссу и Лобачевскому, что они открыли новую эру в философии.

Неэвклидова геометрия, в том числе и геометрия Лобачевского, не имеет никакого отношения к метагеометрии.

Лобачевский не выходит из сферы трех измерений.

Метагеометрия рассматривает сферу трех измерений как разрез высшего пространства. Из математиков ближе всех к этой идее стоял Риман, понимавший отношение времени к пространству.

Точка трехмерного пространства есть разрез метагеометрической линии. Линии, которые рассматривает метагеометрия, нельзя обобщить ни в какой поверхности. Это последнее, может быть, самое важное для определения различия геометрии (эвклидовой и неэвклидовой) и метагеометрии. Метагеометрические линии нельзя рассматривать как расстояние между точками в нашем пространстве. И нельзя представить себе образующими какие-либо фигуры в нашем пространстве.

Рассмотрение возможных свойств линий, лежащих вне нашего пространства, их углов и отношений этих линий и углов к линиям, углам, поверхностям и телам нашей геометрии и составляет предмет метагеометрии.

Исследователи неэвклидовой геометрии не могли решиться отойти от поверхности. В этом есть что-то прямо трагическое. Посмотрите, какие поверхности придумывал Лобачевский при своих исследованиях 11-го постулата Эвклида (о параллельных линиях, то есть собственно об углах, образуемых линией, пересекающей две параллельные) — одна из его поверхностей похожа на поверхность лопастей вентилятора*, другая на поверхность воронки. Но отойти от поверхности совсем, бросить ее раз и навсегда, представить себе, что линия может быть не на поверхности, то есть что ряд линий параллельных или близких к параллельным не может быть обобщен ни в какой поверхности и даже вообще в трехмерном пространстве, — он не мог решиться. И поэтому — и он и очень многие другие геометры, создавая неэвклидову геометрию, не могли выйти из трехмерного мира.

* Роберто Бонола. Неэвклидова геометрия, с. 112, 113.

Механика признает линию во времени, то есть такую линию, какую никак нельзя представить себе на поверхности или как расстояние между двумя точками пространства, — эта линия берется в расчет при вычислении машин. Но геометрия никогда не касалась этой линии и имела дело всегда только с ее разрезами.

* * *

Теперь мы должны вернуться к вопросу: что такое пространство? — и посмотреть, ответили ли мы на этот вопрос.

Ответом было бы точное определение и объяснение трехмерности пространства.

Этого мы сделать не могли. Трехмерность пространства осталась для нас такой же загадочной и непонятной, как прежде. По отношению к ней мы должны сделать одно из двух:

* или принять ее как данное и прибавить это данное к тем двум данным, которые мы установили вначале;

* или признать неправильность нашего метода рассуждения и попробовать другой метод.

Вообще говоря, исходя из принятых нами двух основных данных мира и сознания, мы должны установить, свойством чего является трехмерное пространство, свойством мира или свойством нашего познания мира.

Начав с Канта, который утверждает, что пространство есть свойство восприятия мира нашим сознанием, мы дальше уклонились от этой идеи и рассматривали пространство как свойство мира.

Мы допустили вместе с Хинтоном, что наше пространство в самом себе несет условия, которые позволяют нам установить его отношения к высшему пространству, и на основании этого предположения построили целый ряд аналогий, кое-что выяснивших для нас в вопросах пространства и времени и их взаимных отношений, но, как мы уже заметили, ничего не разъяснивших относительно главного вопроса о причинах трехмерности пространства.