Tertium organum

Само по себе слово может иметь еще другое значение, кроме 'обычно связанного с ним понятия, оно может иметь символическое или аллегорическое значение, может заключать в себе известную музыку или определенный эмоциональный тон. Но все это войти в логическую систему не может. Какое бы символическое, аллегорическое, музыкальное или эмоциональное значение ни имело слово, в логическое построение оно войдет только в своем логическом значении, то есть — как понятие.

В то же время мы прекрасно знаем, что не все может быть выражено в словах. В нашей жизни и в наших чувствах очень много такого, что не укладывается в понятия. Таким образом, ясно, что даже в настоящий момент, на настоящей ступени нашего развития, далеко не все может быть для нас логическим. Есть очень много вещей вне логических по существу. Такова вся область чувства, эмоций, религии. Все искусство — одна сплошная нелогичность. И, как мы сейчас увидим, совершенно нелогической является математика, самая точная из наук.

Если мы сравним аксиомы логики Аристотеля и Бэкона с аксиомами общеизвестной математики, то мы найдем между ними полное сходство.

Аксиомы логики

А есть А,

А не есть не А,

Всякая вещь есть или А, или не А

вполне соответствуют основным аксиомам математики, аксиомам тождества и противоречия:

Всякая величина равна самой себе.

Часть меньше целого.

Две величины, равны порознь третьей, равны между собой

и т.д.

Сходство аксиом математики и логики идет очень глубоко, и это позволяет сделать заключение об их одинаковом происхождении.

Законы математики и законы логики — это законы отражения феноменального мира в нашем сознании.

Как аксиомы логики могут оперировать только с понятиями и относятся только к понятиям, так аксиомы математики могут оперировать только с конечными и постоянными величинами и относятся только к ним.

По отношению к бесконечным и переменным величинам эти аксиомы неверны, так же как аксиомы логики неверны по отношению к эмоциям, к символам, к музыкальности и к скрытому значению слова.

Что это значит?

Это значит, что аксиомы логики и математики выведены нами из наблюдения явлений, то есть феноменального мира, и представляют собой известную условную неправильность, нужную для познания условно неправильного мира.

* * *

Раньше было указано, что у нас, собственно, есть две математики. Одна — математика конечных и постоянных чисел, представляет собой совершенно искусственное построение для решения задач на условных данных. Главное из этих условных данных заключается в том, что в задачах этой математики всегда берется только t Вселенной, то есть берется только один разрез Вселенной, который никогда не смешивается с другим разрезом. Таким образом, математика конечных и постоянных величин изучает искусственную Вселенную и сама по себе есть нечто, специально созданное на основании нашего наблюдения явлений и служащее для облегчения этих наблюдений. Дальше явлений математика конечных и постоянных числе пойти не может. Она имеет дело с воображаемым миром, с воображаемыми величинами.

Другая, математика бесконечных и переменных величин, представляет собою нечто совершенно реальное, построенное на основании умозаключений о реальном мире.

Первая относится к миру феноменов, который представляет собою не что иное, как наше неправильное восприятие мира.

Вторая относится к миру ноуменов, который представляет собою мир как он есть.

Первая нереальна, существует только в нашем сознании, в нашем воображении.

Вторая реальна, выражает отношения реального мира.

Примером "реальной математики", нарушающей основные аксиомы математики (и логики), являются так называемые трансфинитные числа.

Трансфинитными числами, как показывает их название, называются числа за бесконечностью.

Бесконечность, изображенная знаком ?, есть математическое выражение, с которым, как с таковым, можно производить все действия: делить, множить, возводить в степень. Бесконечность можно возвести в степень бесконечности, будет ??. Эта величина, несомненно, в бесконечное число раз больше простой бесконечности ?. И в то же время они равны. Вот это и есть самое замечательное в трансфинитных числах. Вы можете производить с ними какие угодно действия, они будут соответствующим образом изменяться, оставаясь в то же время равными ?? = ?. Это нарушает основные законы математики, принятые для конечных, финитных, чисел. Изменившись, конечное число уже не может быть равно самому себе. А здесь мы видим, как, изменяясь, трансфинитное число остается равным самому себе.

* * *

При этом трансфинитные числа совершенно реальны. Выражением ?? и далее ? = ??? мы можем найти соответствующие примеры в реальном мире.

Возьмем линию, любой отрезок линии. Мы знаем, что число точек в этой линии равно бесконечности, потому что точка измерения не имеет. Если наш отрезок равен вершку и рядом с ним мы представим себе отрезок в версту, то каждой точке в большом отрезке будет соответствовать точка в малом. Число точек в отрезке, равном вершку, бесконечно. Число точек в версте тоже бесконечно. Получается ? = ?.