Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы

Так что 2 — действительно, замечательное число. И не только по этой причине. Можно указать еще много удивительных свойств, которыми обладает число 2. «С точки зрения» двойки числа делятся на две группы: четные и нечетные («хорошие» и «плохие»). Четные делятся на 2, а нечетные — не делятся. Если тебе придется служить в армии, то ты наверняка познакомишься с командой: «На первый-второй р-рас-считайсь!» Понятие «четности» и «нечетности» может быть полезно и при решении задач, и в практической жизни.

137. Представь себе, что приходишь в магазин и хочешь купить 4 тетради в клетку, 2 — в линейку и 8 карандашей. А тебе говорят: «С вас столько-то рублей и 37 копеек». Может ли твоя покупка столько стоить?

138. У некоего школьника имеется несколько карточек, на которых написаны числа 2, 4 и 8, и по одной карточке с числами 1, 3 и 7. Он пытается разложить все карточки на две кучки с равными суммами. Сумеет ли он это сделать?

Но не только 1 и 2 — замечательные числа. Верно утверждение (можно даже сказать, верна теорема): любое число является замечательным. Теперь реши простенькую задачу.

139. Рассмотри два числа — 91 и 97. Для каждого из этих чисел найди все натуральные числа, на которые они делятся. Можно сформулировать так: найди все делители каждого из чисел.

После небольшой работы Федя пришел к выводу, что 91 делится на 7 и 13, а 97 ни на что не делится.

— Тут ты не совсем прав, — возразил дедушка. — 97 делится на 1 и на 97 (на само себя). Числа, которые делятся только на 1 и на само себя, называются простыми.

140. Найди все простые числа меньше 100.

(Д—49, 50.)

Теперь у числа 2 появились еще два свойства. Во-первых, 2 — самое меньшее простое число. А во-вторых, 2 — единственное четное среди простых чисел.

141. Рассмотрим числа 1, 2, 4, 8, 16, …. Каждое следующее в 2 раза больше предыдущего. Оказывается, любое число можно представить в виде суммы нескольких чисел из этой последовательности и притом единственным образом. Представь числа 11, 31, 65, 156, 649 в виде суммы каких-то чисел указанного вида.

Здесь следует дать совет. Сначала надо найти наибольшее число из нашей последовательности, которое не превосходит данное число. Например, для числа 649 таким является число 512. Имеем 649 = 512 + 137. С числом 137 поступаем также: 137 = 128 + 9. Затем 9 = 8 + 1. В результате получаем 649 = 512 + 128 + 8 + 1.

Понятно, что 3 — также простое число. 3 делит все числа уже не на две, а на три группы. В первую группу входят числа 3, 6, 9, …. Это числа, которые делятся на 3. Во вторую — числа 1, 4, 7, 10, …. Эти числа при делении на 3 дают в остатке 1. И наконец, в третью группу входят числа 2, 5, 8, 11, …. Эти числа при делении на 3 дают в остатке 2.

Да, а ты понимаешь, что означает выражение «деление с остатком»? Тогда выполни несколько простых упражнений.

142. Раздели с остатком 117 на 5, 231 на 29, 19 на 23, 288 на 143.

Полезно запомнить, что любое число, если оно не является простым, можно представить в виде произведения простых множителей. Например, 36 = 2 • 2 • 3 • 3, 189 = 3 • 3 • 3 • 7, 1001 = 7 • 11 • 13.

143. Представь в виде произведения простых чисел:

288, 343, 275, 1024, 899.

Хочу дать тебе совет. При нахождении простых чисел, входящих в нужное произведение, следует проверять простые числа в порядке возрастания. Сначала делим на 2. Если разделилось, снова делим на 2. И так, пока все 2 не закончатся (их может вообще не быть ни одной). Потом делим на 3, затем на 5 и так далее. Правда, в последнем случае такой путь может оказаться очень длинным. Здесь полезно заметить, что 899 = 30 • 30 — 1, и вспомнить одну формулу, которой пользовался Нави.