Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы

С простыми числами человек знаком издавна. До сих пор самые серьезные математики занимаются изучением свойств простых чисел. И до сих пор еще многое скрыто завесой тайны. Например, математики убеждены, что любое четное число может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. Но полного доказательства этого утверждения они не знают. А вот то, что любое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых чисел, было доказано в первой половине XX столетия великим русским математиком Иваном Матвеевичем Виноградовым. Я даже могу похвастаться: мне приходилось с ним встречаться. Ну а ты реши задачу.

144. Представь числа 38, 96, 118, 128 в виде суммы двух простых.

То, что самого большого числа не бывает, знает любой школьник. Оказывается, не бывает и самого большого простого числа. Простых чисел бесконечно много. Это ученые знали с глубокой древности. Понятно, что все простые числа интересны уже тем, что они простые.

А чем интересно число 6? Как и у любого числа, у него много различных свойств. Я хочу обратить внимание на одну особенность. Выпишем все делители числа 6, которые меньше 6. Это числа 1, 2 и 3. А теперь заметим, что 1 + 2 + 3 = 6. То есть число 6 равно сумме всех своих делителей, меньших его самого. Древние ученые назвали такие числа совершенными, и им приписывались различные магические свойства. А существуют ли еще совершенные числа?

145. Найди два совершенных числа. Одно из них меньше 30, а другое представляется в виде произведения простого числа 31 и нескольких 2.

Теперь ты без особого труда должен найти эти два совершенных числа. Можешь воспользоваться известным тебе методом перебора.

Но несмотря на то что математики смогли найти очень много совершенных чисел, до сих пор неизвестно, существует ли наибольшее совершенное число или нет.

Глава 22 Арифметические вычисления

— Я думаю, что мы с тобой слишком увлеклись занимательными задачами и очень мало занимались обыкновенными вычислениями, — сказал дедушка Федору в некоторой задумчивости. — Конечно, умение хорошо вычислять не является признаком хорошего математика. Некоторые выдающиеся вычислители совсем не разбирались в математике. Среди них даже встречались просто глупые люди. В то же время известно немало талантливых математиков, которые не очень хорошо вычисляли. Правда, величайший математик Леонард Эйлер был выдающимся вычислителем. Если он долго не мог заснуть, он упражнялся в вычислениях, перемножая в уме четырехзначные числа. Когда он умер, на его могиле написали: «Великий Эйлер кончил жить и вычислять». Кстати, Леонард Эйлер большую часть своей жизни прожил в России, в Санкт-Петербурге. Когда ты поедешь на каникулы в Санкт-Петербург, попроси родителей сводить тебя в Александро-Невскую лавру. Там похоронен Эйлер. Великие математики со всего мира приезжают посетить его могилу. На ней ты сам сможешь прочесть эту надпись.

Ну, до Эйлера нам всем далеко. Тут и компьютер не поможет. А потренироваться все же надо. Хотя это и немного скучно. Для начала выполни еще раз задачу «из сундука». Я говорю о номере 99.

А теперь несколько задач.

146. Из чисел 1, 2 и 3 с помощью арифметических действий получи все числа от 1 до 9. (Каждый раз надо использовать все три числа. Каждое — по одному разу.)

147. Имеется несколько равенств. Некоторые из них верны. Некоторые не верны, но можно так поставить скобки, что получится верное равенство. Укажи верные и исправь неверные:

1) 52 — 36 :12 = 49;

2) 104 + 5 • 4 = 124;

3) 48 + 32 : 16 = 5;

4) 54 : 3 — 16 = 24;

5) 5 + 18 — 8 : 2 = 10;

6) 26 — 6 : (62 — 60) = 10;

7) 59 — 3 • 15 = 14;

8) 68 — 8 • 2 — 4 = 116;

9) 36 : 4 + 5 • 3 = 12;

10) 8 + (29 — 7) • 8 = 184;

11) 48 — (8 — 6 : 2) = 47;

12) 25 — 5 • 4 : 10 = 8;

13) 13 • 5 + 56 : 8 = 72;

14) 48 : 3 + 4 • 7 = 44.

148. Очень интересными свойствами обладает число 142 857. Что получится, если это число умножить на 2, 3, 4, 5, 6 и 7? Разложи 142 857 на простые множители.