Величайшие математические задачи

В 1811 г. Адриен Мари Лежандр опубликовал первую книгу объемного трехтомного трактата об этих интегралах, известных как эллиптические благодаря своей связи с длиной дуги сегмента эллипса. Однако он умудрился пройти мимо самого важного их свойства: существования новых функций, аналогичных синусу и косинусу, обратные функции к которым достаточно просто выражают величину интеграла{24}. Гаусс, Нильс Хенрик Абель и Карл Якоби быстро заметили упущение. Гаусс оставил свои мысли при себе, что для него вполне типично. Абель в 1826 г. представил во Французскую академию собственную работу, но Коши, президент Академии, потерял рукопись, и опубликована она была только в 1841 г., через 12 лет после трагической ранней кончины Абеля от чахотки. Однако в 1827 г. вышла другая статья Абеля на ту же тему. Якоби положил новые «эллиптические функции» в основу громадного тома, опубликованного в 1829 г., и этот труд направил исследования в области комплексного анализа по совершенно новому пути.

В результате был выявлен целый комплекс взаимосвязанных свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций. Оказалось, что соотношение, замеченное Фаньяно и Эйлером, можно интерпретировать иначе, в виде простого списка формул, связывающих эллиптические функции суммы двух чисел с эллиптическими функциями самих чисел. Но самая интересная черта эллиптических функций оставляет тригонометрические функции далеко позади. Эллиптические функции не просто периодические; для них характерна двойная периодичность. Линия одномерна, поэтому и рисунок ее может повторяться только в одном направлении, вдоль линии. Комплексная плоскость двумерна, так что рисунок на ней может повторяться, как на обоях: вдоль бумажной полосы и одновременно поперек — вдоль стены, на соседние полосы. С каждой эллиптической функцией связаны два независимых комплексных числа (ее периоды), прибавление любого из которых к переменной не меняет значение функции.

Повторяя этот процесс, мы приходим к выводу, что значение функции не меняется при добавлении к переменной любой целочисленной комбинации двух периодов. Эти комбинации можно интерпретировать и геометрически: они определяют на комплексной плоскости решетку, которая разбивает плоскость на параллелограммы; все, что происходит в одном параллелограмме, повторяется и во всех остальных (см. рис. 26). Если мы рассмотрим отдельно взятый параллелограмм и то, как он соединяется с соседними, то получим, что нам придется отождествить противоположные его стороны, как тор определяется через отождествление противоположных сторон квадрата (см. рис. 12). Параллелограмм, противоположные стороны которого попарно отождествляются, топологически тоже представляет собой тор. Иными словами, точно так же, как синус и косинус связаны с окружностью, эллиптические функции связаны с тором.

Есть здесь и связь с теорией чисел. Я сказал, что функция, обратная синусу, получается путем интегрирования формулы, в которой фигурирует квадратный корень из квадратного трехчлена (т. е. многочлена второй степени). Эллиптические функции в этом похожи, но квадратный трехчлен в них заменяется на многочлен третьей или четвертой степени. Случай с четвертой степенью уже упоминался, потому что исторически он появился первым, но теперь давайте сосредоточимся на случае с многочленом третьей степени. Если мы обозначим квадратный корень как y, а многочлен как ax³ + bx² + cx + d, где a, b, c и d — числовые коэффициенты, то x и y удовлетворяют уравнению:

y² = ax³ + bx² + cx + d.

Это уравнение можно рассматривать в нескольких различных контекстах, в зависимости от того, какие ограничения наложены на переменные и коэффициенты. Если все это действительные числа, уравнение определяет кривую на плоскости. Если это комплексные числа, то специалисты по алгебраической геометрии все равно называют множество решений этого уравнения кривой просто по аналогии. Но теперь это кривая в пространстве пар комплексных чисел, четырехмерном в действительных координатах. И кривая в данном случае — это поверхность с точки зрения действительных координат.

На рис. 27 показаны типичные действительные эллиптические кривые y² = 4x³ − 3x + 2 и y² = 4x³ − 3x. Поскольку y появляется в уравнении в виде квадрата, кривая симметрична относительно горизонтальной оси. В зависимости от коэффициентов это либо одна волнообразная кривая, либо кривая с отдельным овальным компонентом. В комплексных числах кривая всегда представляет собой единое связное множество.

Если мы потребуем, чтобы переменные и коэффициенты были рациональными, в игру вступит теория чисел и мы получим диофантово уравнение. Его графическое представление зачем-то называется эллиптической кривой, хотя совершенно не похоже на эллипс. Все дело в том, что это уравнение связано с эллиптическими функциями. Это как назвать окружность треугольной кривой только потому, что она связана с тригонометрией. Однако это название уже высечено на скрижалях, так что нам придется мириться с ним.