Величайшие математические задачи

«Покорнейше прошу вас, сударь, объявить в вашем журнале следующую теорему, кою я почитаю верной, хотя до сего момента и не преуспел в доказательстве; быть может, другие добьются большего успеха. Два последовательных целых числа, кроме 8 и 9, не могут быть последовательными степенями; иначе говоря, уравнение x^m − yⁿ = 1, в котором все неизвестные — положительные целые числа, допускает лишь одно решение».

Это утверждение получило известность как гипотеза Каталана. Показатели степени m и n здесь — целые числа больше 1.

Несмотря на частичные успехи, гипотеза Каталана долгое время упорно противостояла всем усилиям математиков, пока в 2002 г. ее не доказал вдруг Преда Михайлеску. Этот математик родился в 1955 г. в Румынии, а в 1973 г. поселился в Швейцарии и к тому времени только что получил докторскую степень. Темой его диссертации было «Деление кругов и проверка на простоту», и речь в ней шла о применении теории чисел при проверке на простоту (глава 2). Эта задача не имеет особого отношения к гипотезе Каталана, но Михайлеску пришло в голову, что методы-то его точно имеют к ней отношение. В них он отталкивался от идей, уже упоминавшихся мной в главе 3: гауссового построения правильного 17-угольника и связанных с этим алгебраических уравнений, решения которых называют круговыми числами. Доказательство получилось достаточно сложным и произвело в математическом сообществе настоящий фурор. Из него явствует, что какие бы величины мы ни выбрали для двух показателей степени, число решений остается конечным — и помимо очевидных решений с участием 0 и ±1 единственное решение, представляющее интерес, это 3² − 2³ = 1.

Приведенные примеры наглядно показывают, что одни диофантовы уравнения имеют бесконечное множество решений, а другие — нет. Что тут интересного, скажете вы, эти два варианта перекрывают весь спектр возможностей. Но если вы спросите, какие уравнения к какому типу относятся, все станет намного интереснее.

Морделл готовил учебник по диофантовым уравнениям. В то время эта область математики напоминала биологию на раннем этапе ее развития: множество собранных коллекционерами бабочек, и никакой систематической классификации. Наука пребывала почти в том же состоянии, в каком ее оставил Диофант, только беспорядка стало еще больше: это был бессистемный набор ловких трюков, для каждого типа уравнений свой, и вот такой не слишком подходящий для учебника материал отчаянно нуждался в систематизации, чем Морделл и занялся.

В какой-то момент он, должно быть, заметил, что все уравнения, достоверно имеющие бесконечное множество рациональных решений, — такие как пифагорово уравнение или эллиптические кривые — имеют одну общую черту. Он сосредоточился на одном классе уравнений — на тех, в которых (после перевода в рациональную форму, как я сделал с пифагоровым уравнением) присутствует всего две переменных. Есть два случая, когда нам заранее известно, как найти бесконечное множество решений. Пример одного из них — пифагорово уравнение в эквивалентной форме x² + y² = 1. В этом случае существует формула для нахождения решений. Вставьте в эту формулу любое рациональное число и получите рациональное решение, причем формула позволяет получить все решения. Пример второго случая — эллиптические кривые: здесь существует процесс, позволяющий получать новые решения из старых, и гарантия того, что если начать с подходящего конечного набора решений, этот процесс позволит получить их все.

Гипотеза Морделла утверждает, что во всех случаях, когда уравнение имеет бесконечное множество рациональных решений, должно присутствовать одно из названных свойств. Существует либо общая формула, либо процесс, позволяющий получить все решения из подходящего конечного их набора. Во всех остальных случаях число рациональных решений конечно; примером могут служить уравнения вида x^m — yⁿ = 1, которые фигурируют в гипотезе Каталана. Решения здесь в каком-то смысле случайны и не имеют никакой структурной основы.