Величайшие математические задачи

Морделл пришел к этому наблюдению немного иным путем. Он обратил внимание на то, что все уравнения с бесконечным числом рациональных решений имеют одно поразительное топологическое свойство. У всех у них род равен 0 или 1. Вспомните из главы 4, что род — это понятие из области топологии кривых, которое указывает на то, сколько в данной поверхности отверстий. Род сферы равен 0, род тора — 1, род тора с двумя отверстиями равен 2 и т. д. Но откуда берутся поверхности в задаче из теории чисел? Из координатной геометрии. Мы видели, что пифагорово уравнение, которое интерпретировано в терминах рациональных чисел и допускает действительные решения, определяет окружность. Морделл сделал еще один шаг и допустил комплексные решения. Любое уравнение с двумя комплексными переменными определяет то, что специалисты по алгебраической геометрии называют комплексной кривой. Однако с точки зрения действительных чисел и зрительного восприятия человека каждое комплексное число двумерно: у него на деле две компоненты — действительная и мнимая части. Так что «кривая» в комплексном смысле есть поверхность для нас с вами. И, как у всякой поверхности, у нее есть род, — вот и все.

Всякий раз, когда про уравнение было известно, что оно имеет конечное число решений, его род равнялся по крайней мере двум. Род важных уравнений, статус которых относительно числа решений не был известен, тоже равнялся по крайней мере двум. Морделл на основании достаточно хлипких, как тогда казалось, указаний сделал отчаянно смелый шаг: он предположил, что любое диофантово уравнение с родом 2 или больше имеет конечное число рациональных решений. Так, по мановению его руки, диофантовы бабочки аккуратно распределились по родственным семействам; точнее говоря, по родам (даже термин подходящий).

В гипотезе Морделла была всего лишь одна крохотная загвоздка. Она связала между собой две чрезвычайно разные вещи: рациональные решения и топологию. В то время подобная связь казалась в высшей степени неубедительной. Если даже она существовала, то никто не знал, как ее искать; непонятно было даже, как подступиться к этой проблеме. Так что гипотеза представляла собой отчаянное, ничем не подтвержденное заявление, обещавшее, однако, громадные потенциальные дивиденды.

В 1983 г. Фальтингс опубликовал эффектное доказательство того, что фантастическое предположение Морделла на самом деле верно. Его доказательство было построено на методах алгебраической геометрии. Совершенно другое доказательство, основанное на аппроксимации действительных чисел рациональными, вскоре нашел Пауль Войта, а в 1990 г. Энрико Бомбиери опубликовал упрощенное доказательство, основанное примерно на тех же принципах. Существует приложение теоремы Фальтингса к Великой теореме Ферма — проблеме, о которой мы будем подробно говорить в главе 7. Оно утверждает, что для любого целого n, большего или равного 3, уравнение xⁿ + yⁿ = 1 имеет конечное число целых решений. Род соответствующей кривой равен (n − 1) (n − 2)/2, а это по крайней мере 3, если n ≥ 4. Теорема Фальтингса прямо подразумевает, что при любом n ≥ 4 уравнение Ферма имеет в лучшем случае конечное число рациональных решений. Ферма утверждал, что оно вовсе не имеет решений, за исключением случаев, когда x или y равны нулю, так что это было очень серьезное продвижение. В следующей главе мы вернемся к истории Великой теоремы Ферма и посмотрим, как заявление ученого подтвердилось.

7. «Недостаточные» поля. Великая теорема Ферма

Впервые мы столкнулись с Ферма в главе 2, где его элегантная теорема о степенях чисел обеспечила метод проверки чисел на простоту. Эта глава посвящена куда более сложному утверждению: Великой теореме Ферма. Название звучит загадочно. «Теорема» — это вроде бы понятно, но кто такой был Ферма и почему эту теорему называют великой, а иногда последней его теоремой? Может быть, название — всего лишь хитрый маркетинговый ход? Оказывается, нет: такое название эта задача получила в XVIII в., когда лишь несколько ведущих математиков хотя бы слышали о ней и уж тем более интересовались ею. Но Великая, или Последняя, теорема Ферма и вправду загадочна.

Пьер Ферма родился во Франции в 1601 г. по одним источникам и в 1607–1608 гг. по другим. Не исключено, что путаница возникла из-за его брата, носившего такое же имя. Его отец был зажиточным купцом, он торговал кожей и занимал высокое положение в городе, а мать происходила из семьи юристов. Пьер учился в университете в Тулузе, а в конце 1620-х гг. перебрался в Бордо, где у него проявился талант к математике. Он говорил на нескольких языках. Кроме того, он собирал материалы и работал над восстановлением одного из классических древнегреческих трудов по математике, принадлежавшего перу Аполлония и давно утраченного. Своими многочисленными открытиями Ферма делился с ведущими математиками своего времени.