Дураки, мошенники и поджигатели. Мыслители новых левых

Одна из таких аналогий вращается вокруг доказательства Полом Коэном независимости континуум-гипотезы, оказывающей на мышление Бадью странное, почти галлюциногенное воздействие. Континуум-гипотеза возникла из доказательства Кантором того, что есть числа, выходящие за пределы множества с кардинальным числом алеф-нуль, т. е. бесконечного множества натуральных чисел. Кантор предполагал, что должно быть множество, следующее за алеф-нуль, которое является первым в бесконечном ряду подобных множеств. Он выдвинул гипотезу, что мощность такого множества, алеф-один, равна степенному множеству алеф-нуль, т. е. 2 в степени алеф-нуль, и является множеством действительных чисел[125]. И он предполагал, что существует упорядоченный ряд трансфинитных кардиналов наподобие упорядоченного ряда натуральных чисел. Кантор надеялся показать, что любая аксиома, необходимая для выведения основных законов арифметики, свидетельствует в пользу верности континуум-гипотезы. Но доказательства этому так никто и не нашел, включая его самого. Затем в 1963 г. Пол Коэн показал, что континуум-гипотеза независима от системы аксиом Цермело – Френкеля для теории множеств. Следовательно, учитывая необходимость этих аксиом для обоснования арифметики, континуум-гипотеза не является арифметической теоремой. Сам Коэн полагал, что гипотеза ложна[126].

Причиной правдоподобия континуум-гипотезы, как полагал Коэн, является обыкновение математиков создавать модели с конструктивными множествами – классом множеств F для некоторого заданного на языке модели предиката F. Однако аксиома экстенсиональности, которая является краеугольным камнем теории множеств Цермело – Френкеля, говорит нам о том, что множества определяются по входящим в них элементам, а не по общим свойствам этих элементов. Так что, если множество A включает те же элементы, что и множество B, то A тождественно B вне зависимости от того, относится ли к их элементам некий общий предикат. Отсюда могут быть множества, объединяющие элементы не в рамках модели, а неким иным образом – в терминах свойств, задаваемых более широкой перспективой теории множеств. Эти «генерические»[127] множества могут быть использованы в математических доказательствах, даже если язык модели не содержит предиката, под который они подпадают.

Чтобы доказать независимость континуум-гипотезы, мы должны найти такую модель – множество множеств, – для которой аксиомы Цермело – Френкеля выполнялись бы (т. е. были бы верными в модели), а континуум-гипотеза – нет (т. е. была бы ложной в модели). До тех пор, пока мы имеем дело только с конструктивными множествами, это сделать невозможно. Но при помощи процедуры «вынуждения», благодаря которой генерические множества задействуются в модели, можно создать такую модель, которая удовлетворяет аксиомам теории множеств, но оставляет ложной континуум-гипотезу.

Доказательство техническое и принадлежит к семейству доказательств (как и доказательство теоремы Геделя о неполноте), которые являются «метаматематическими» по своему характеру. Специально оно не подразумевает ни подтверждения, ни опровержения континуум-гипотезы. Скорее, показывает, что гипотеза недоказуема при определенных аксиомах и, следовательно, не является теоремой в любой математической системе, которая отправляется от этих аксиом. Для Бадью уже это имеет огромное значение, поскольку сам он видит свою философию своего рода метаматематикой или, по его словам, метаонтологией, а цель ее в том, чтобы показать, каким мир должен быть, если его можно описать с позиций математики.

Более важно, однако, то, что доказательство Коэна вдохновляет на скачок от абстрактной математики к исторической конкретике. Слова вроде «генерический» и «вынуждение» засели в голове у Бадью и стали для него ключевыми терминами при описании человеческого состояния. Согласно Бадью, есть четыре способа, при помощи которых мы стремимся к важным, т. е. революционным, событиям, творим их и храним им верность, – это любовь, искусство, наука и политика. И он окрестил их «генерическими процедурами» (procédures génériques), не объясняя, что же именно означает «генерический» во всех этих контекстах, но всегда имея в виду то, какие матемы могли бы скрыть и защитить его главную цель, которая состоит в том, чтобы освятить авторитетом математики свою версию утопии [Badiou, 1988, p. 23].