Методика преподавания математики в начальной школе

Пусть А – конечное множество и В – его собственное подмножество. Тогда множество А \ В (когда В c А, можно обозначить В´ ) тоже конечно, причем выполняется равенство n(А \ В) = n (A) – n (B)

Доказательство:

Так по условию В – собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так:

       А

А \ В

А

В

Разность А \ В на этом рисунке заштрихована. Хорошо видно, что В и А \ В не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n (A) = n (B) + n(A \ B), откуда по определению вычитания как операции обратной сложению, получаем

n(A \ B) = n (A) – n (B).

Из этого следует определение разности натуральных чисел:

С теоретико-множественной позиции разность натуральных чисел а и bпредставляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А, если а = n (A), b = n (B) и В c А:

а – b = n (A) – n (B) = n(A \ B), если В c А, В ≠ А, В = Ø.

Взаимосвязь вычитания и разности множеств позволяет обосновывать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, почему задача решается действием вычитания:

У Антона 11 машинок. 3 машинки он подарил другу. Сколько машинок стало у Антона?

      В задаче рассматриваются три множества: множество А – машинки у Антона; множество В – машинки подаренных Антоном другу, которое является подмножеством множества А; множество С – дополнение множества В до множества А – машинки, оставшиеся у Антона после того, как он подарил несколько другу. В задаче нужно найти число элементов в дополнении. Т.к. по условию n (A) = 11, n (B) = 3 и В c А, то n(C) = n(A \ B) = n (A) – n (B) = 11 – 3. Разность 11 – 3 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 11 – 3 = 8. Следовательно, у Антона осталось 8 машинок.

Задание для самостоятельной работы

Обоснуйте с теоретико- множественной точки зрения выбор действий при решении текстовых задач.

а) В корзине 7 морковок, 3 из них отдали кроликам. Сколько морковок осталось в корзине?

б) Во дворе гуляли 6 мальчиков, трое из них ушли. Сколько мальчиков осталось во дворе?

II. Теоретико-множественный смысл равенств а – 0 = а и а – а = 0.

По аналогии трактуется вычитание нуля и вычитание а из а.

Т.к. А \ Ø = А, А \ А = Ø, то а – 0 = а и а – а = 0.

III. Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Рассматриваемый подход позволяет толковать правила, которыми пользуются при рациональных способах вычитания:

– вычитание числа из суммы,

– вычитание суммы из числа.

Если а, b, с – натуральные числа,то (а + b) – с = (a – c) + b.

a + (b – c)

Доказательство:

Пусть А, В и С – такие множества, что а = n (A), b = n (B) и A ∩ B= Ø, С c А.

Докажем, что (А U В) \ С = (А \ С) U В.

n ((А U В) \ С) = n(А U В) – n(C) = (а + b) – c

n((А \ С) U В) = n(A \ C) + n(B) = (a – c) + b

И, следовательно, (а + b) – c = (a – c) + b, если а > с.

А

А

С

В

а – (b + с) = (a – b) – c.

(a – c) – b.

IV. Теоретико-множественный смысл понятий «больше на …», «меньше на …».

В аксиоматической теории понятия «меньше на …» («больше на …») вытекает из определения отношения «меньше».

Из того, что а < b, тогда и только тогда, когда существует число с, что

а + с = b. А значит, «а меньше b на с» или «b больше а на с».

Если а = n (A), b = n (B) и установлено, что а < b, то опираясь на теоретико-множественный подход понятия «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В1, равномощное множеству А, и непустое множество В \ В1.

Если число элементов в множестве В \ В1 обозначить как с (с ≠ 0), то в множестве В будет столько же элементов, сколько их в множестве А и еще с:

n (B) = n (B)+ n (B \ В1) или b = а + с, что подразумевает, что «а меньше b на с» («b больше а на с»).

Таким образом, с теоретико-множественной позиции понятия «а меньше b на с» («b больше а на с») означают, что

если а = n (A), b = n (B),